Как использовать биномиальное распределение в excel

Генерация случайных чисел и оценка λ

При значениях λ>15
, Распределение Пуассона
хорошо аппроксимируется Нормальным распределением
со следующими параметрами: μ=λ
, σ 2 =λ
.

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ

: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .

Например, регистрируется количество дорожных происшествий за неделю на определенном участке дороги. Это число представляет собой случайную величину, которая может принимать значения: (верхнего предела нет). Число дорожных происшествий может быть каким угодно большим. Если рассмотреть какой-либо короткий временной промежуток в течение недели, скажем минуту, то происшествие либо произойдет на его протяжении, либо нет. Вероятность дорожного происшествия в течение отдельно взятой минуты очень мала, и примерно такая же она для всех минут.

Распределение вероятностей числа происшествий описывается формулой:

где m — среднее количество происшествий за неделю на определенном участке дороги; е — константа, равная 2,718…

Характерные особенности данных, для которых наилучшим образом подходит распределение Пуассона, следующие:

1. Каждый малый интервал времени может рассматриваться как опыт, результатом которого является одно из двух: либо происшествие (“успех”), либо его отсутствие (“неудача”). Интервалы столь малы, что может быть только один “успех” в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.

2. Число “успехов» в одном большом интервале не зависит от их числа в другом, т.е. “успехи” беспорядочно разбросаны по временным промежуткам.

3. Среднее число “успехов” постоянно на протяжении всего времени. Распределение вероятностей Пуассона может быть использовано не только при работе со случайными величинами на временных интервалах, но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста. Общая формула распределения вероятностей Пуассона:

где m — среднее число “успехов” на единицу.

В таблицах распределения вероятностей Пуассона значения табулированы для определенных значений m и

Пример 2.7. В среднем на телефонной станции заказывают три телефонных разговора в течение пяти минут. Какова вероятность, что будет заказано 0, 1,2, 3, 4 или больше четырех разговоров в течение пяти минут?

Применим распределение вероятностей Пуассона, так как:

1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. маленьких отрезков времени, когда может появиться заказ на телефонный разговор, вероятность чего мала и постоянна.

2. Считается, что спрос на телефонные разговоры беспорядочно распределен во времени.

3. Считается, что среднее число телефонных разговоров в любом -минутном отрезке времени одинаково.

В этом примере среднее число заказов равно 3 за 5 минут. Отсюда, распределение Пуассона:

При распределении вероятностей Пуассона, зная среднее число “успехов” на 5-минутном промежутке (например как в примере 2.7), для того чтобы узнать среднее число “успехов” за один час, нужно просто умножить на 12. В примере 2.7 среднее число заказов в час составит: 3 х 12 = 36. Аналогично, если требуется определить среднее число заказов в минуту:

Пример 2.8. В среднем за пять дней рабочей недели на автоматической линии происходят 3,4 неполадок. Какова вероятность двух неполадок в каждый день работы? Решение.

Можно применить распределение Пуассона:

1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. малых промежутков времени, в течение каждого из них может произойти или не произойти неполадка на автоматической линии. Вероятность этого для каждого промежутка времени мала и постоянна.

2. Предполагается, что неполадки беспорядочно расположены во времени.

3. Предполагается, что среднее число неполадок в течение любых пяти дней постоянно.

Среднее число неполадок равно 3, 4 за пять дней. Отсюда число неполадок в день:

Следовательно,

Где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828 .

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Назначение сервиса

Биномиальное распределение с примерами

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, применимое к биномиальным экспериментам. Это количество успешных попыток за определенное количество попыток. Биномиальное распределение можно представить как распределение вероятностей количества выпавших орлов при подбрасывании монеты в конкретном эксперименте, состоящем из фиксированного количества подбрасываний монеты. В этом сообщении блога мы изучим биномиальное распределение с помощью примеров . Если вы начинающий специалист по обработке и анализу данных, стремящийся лучше изучить биномиальное распределение или лучше понять его, этот пост может быть очень полезен.

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое представляет вероятности биномиальных случайных величин в биномиальном эксперименте. Биномиальное распределение определяется как распределение вероятностей, связанное с биномиальным экспериментом, где биномиальная случайная величина указывает, сколько успехов или неудач произошло в этом пространстве выборки

Специалистам по данным и специалистам в других областях важно понимать эту концепцию, поскольку биномы часто используются в бизнес-приложениях

Что такое случайная величина?

Случайная величина представляет собой переменную, которая может принимать случайные значения в эксперименте. Скажем, случайная величина, представляющая количество бракованных изделий, найденных в 100 предметах, выбранных случайным образом. Здесь 100 элементов представляют 100 испытаний. Может быть несколько экспериментов, включающих случайную выборку 100 предметов и подсчет количества дефектных предметов.

В 1-м эксперименте 5 изделий оказались бракованными.
Во 2-м опыте, 9товары признаны бракованными.

В приведенном выше эксперименте количество дефектных элементов можно назвать СЛУЧАЙНОЙ переменной. Случайная величина также представлена буквой X. X принимает значения 5 и 9 в вышеупомянутых экспериментах.

Когда значение случайной величины может принимать только конечные значения, случайную величину также можно назвать случайной дискретной величиной. Когда значение случайной величины может принимать бесконечные значения, случайную величину также можно назвать случайная непрерывная переменная .

Все возможные значения (или результаты), которые может принимать случайная величина, также называются выборочным пространством .

Что такое биномиальная случайная величина?

В биномиальном эксперименте результат каждого испытания в эксперименте может принимать одно из двух значений: успех или неудача. Каждое испытание в биномиальном эксперименте также можно назвать испытанием Бернулли . Для одного испытания биномиальное распределение можно также назвать Распределение Бернулли. Вы можете проверить мой пост о распределении Бернулли, объясненном на примерах Python. Другими словами, результат каждого испытания классифицируется в соответствии с двумя уровнями категориальной переменной. Вот несколько примеров испытаний Бернулли:

При подбрасывании монеты может быть либо успех (ГОЛОВА), либо неудача (РЕШКА).
При обнаружении дефектных изделий результатом может быть либо успех (предмет дефектный), либо отказ (предмет недефектный).
При бросании кубика результатом может быть либо успех (одно из чисел от 1 до 6 (скажем, шесть-6)) либо провал (любое число, кроме) в противном случае.

Результат интереса к испытанию эксперимента часто называют успехом .

Биномиальная случайная величина может быть числом успехов в эксперименте, состоящем из N испытаний . Таким образом, ниже приведены некоторые примеры биномиальной случайной величины:

Количество успехов (орел) в эксперименте из 10 попыток подбрасывания монеты; Здесь образец пространства {0, 1, 2, … 10}
Количество успехов (шесть) в эксперименте из 10 попыток прокатки игральной кости; Здесь выборочное пространство равно {0, 1, 2, …10}
Количество успешных результатов (бракованных элементов) в эксперименте из 10 попыток проверки 10 предметов; Здесь выборочное пространство равно {0, 1, 2, …10}

Переменная альтернативного признака

Для того, чтобы в анализе задействовать математический аппарат, результаты подобных наблюдений следует записать в числовом виде. Для этого положительному исходу присваивают число 1, отрицательному – 0. Другими словами, мы имеем дело с переменной, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Какую пользу отсюда можно извлечь? Вообще-то не меньшую, чем от обычных данных. Так, легко подсчитать количество положительных исходов – достаточно просуммировать все значения, т.е. все 1 (успехи). Можно пойти далее, но для этого потребуется ввести парочку обозначений.

Первым делом нужно отметить, что положительные исходы (которые равны 1) имеют некоторую вероятность появления. Например, выпадение орла при подбрасывании монеты равно ½ или 0,5. Такая вероятность традиционно обозначается латинской буквой p. Следовательно, вероятность наступления альтернативного события равна 1 — p, которую еще обозначают через q, то есть q = 1 – p. Указанные обозначения можно наглядно систематизировать в виде таблички распределения переменной X.

Мы получили перечень возможных значений и их вероятности. Можно рассчитать математическое ожидание и дисперсию. Матожидание – это сумма произведений всех возможных значений на соответствующие им вероятности:

Вычислим матожидание, используя обозначения в таблицы выше.

Получается, что математическое ожидание альтернативного признака равно вероятности этого события – p.

Теперь определим, что такое дисперсия альтернативного признака. Дисперсия – есть средний квадрат отклонений от математического ожидания. Общая формула (для дискретных данных) имеет вид:

Отсюда дисперсия альтернативного признака:

Нетрудно заметить, что эта дисперсия имеет максимум 0,25 (при p=0,5).

Стандартное отклонение – корень из дисперсии:

Максимальное значение не превышает 0,5.

Как видно, и математическое ожидание, и дисперсия альтернативного признака имеют очень компактный вид.

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно.
В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром
Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в .

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

где

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает , что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто

Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл

I, §6]:

при

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пример

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

5. Задание к лабораторной работе (практическому занятию).

1. Задать функцию биномиального распределения и построить ее график.2. Исследовать зависимость формы кривой и положения ее максимума от параметров n, p. 3. Задать функцию нормального (стандартного) распределения и построить ее график.4. Представить на одном рисунке графики стандартного и биномиального распределений. 5. Оценить качество аппроксимации биномиального распределения нормальным.6. Задать функцию распределения Пуассона и построить ее график.7. Представить на одном рисунке графики Пуассоновского и биномиальногораспределений.8. Оценить качество аппроксимации биномиального распределения распределением Пуассона.

Биномиальное кумулятивное распределение вероятностей

В качестве альтернативы вы можете сосредоточиться на кумулятивном распределении вероятностей. Это измеряет вероятность успеха, меньшее или равное определенному числу.

В графическом виде это выглядит так:

Чтобы вычислить кумулятивную вероятность, вы можете просто суммировать отдельные вероятности, рассчитанные в предыдущем разделе.

Или вы можете использовать функцию БИНОМРАСП так:

1	= БИНОМРАСП (B10; 10; 1/2; ИСТИНА)

Обратите внимание, что для расчета кумулятивной вероятности мы устанавливаем последний аргумент в ИСТИНА вместо ЛОЖЬ. Математически эту формулу можно выразить следующим образом:

Математически эту формулу можно выразить следующим образом:

BINOM.DIST.RANGE — найти вероятность диапазона значений

В то время как БИМОМРАСП служит способом определения вероятности одной дискретной точки, функция БИНОМРАСП.РАСП позволяет нам найти вероятность достижения определенного диапазона успехов.

Используя пример орла или решки, мы можем определить вероятность того, что от 6 до 8 из наших 10 попыток окажутся орлом, по следующей формуле.

1	= ДИАПАЗОН.РАСП (10; 0,5; 6;

Коэффициенты и параметры функции распределения по закону Вейбулла

Интегральная функция распределения соответствует значению вероятности события, при котором некоторая величина X, распределенная по закону Вейбулла, будет принимать значение, которое

Формула функции ВЕЙБУЛЛ:

Формула плотности вероятности для данного распределения:

Данное распределение характеризуется двумя основными параметрами:

α — характеризует форму распределения.
β — характеризует масштаб.

Оба параметра указываются значениями из диапазона от 0 (не включительно) до бесконечности со знаком плюс (при этом для практического применения распределения рационально в качестве параметра β (бетта) указывать значение >=1).

Распределение Вейбулла может быть преобразовано к обычному экспоненциальному распределению, если параметр α (альфа) принимает значение 1.

Определение времени наработки без отказа до момента выхода из строя самого уязвимого элемента системы.
Определение времени работы до момента разрушения вследствие внутренних причин (физический износ материала). Если причина разрушения материала обусловлена внешними факторами, применяют экспоненциальное распределение (то есть, принимают α=1).

Рассматриваемая функция использовалась до выхода MS Office версии 2010 года. В последующих версиях она заменена аналогичной функцией ВЕЙБУЛЛ.РАСП, однако оставлена для обеспечения совместимости.

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
два события не могут произойти одновременно;
число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события
, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события A
в i
–м испытании. Пусть проводится n
независимых испытаний, в каждом из которых событие A
может либо появиться с вероятностью p
, либо не появиться с вероятностью q=1-p
. Рассмотрим событие B_m
, состоящее в том, что событие A
в этих n
испытаниях наступит ровно m
раз и, следовательно, не наступит ровно (n-m)
раз. Обозначим A_i~(i=1,2,\ldots,{n})
появление события A
, a \overline{A}_i
— непоявление события A
в i
–м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

Событие A
может появиться m
раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием \overline{A}
. Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из n
элементов по m
, т. е. C_n^m
. Следовательно, событие B_m
можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно C_n^m
:

B_m=A_1A_2\cdots{A_m}\overline{A}_{m+1}\cdots\overline{A}_n+\cdots+\overline{A}_1\overline{A}_2\cdots\overline{A}_{n-m}A_{n-m+1}\cdots{A_n},

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна p^{m}q^{n-m}
. Так как общее количество таких событий равно C_n^m
, то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события B_m
(обозначим ее P_{m,n}
)

P_{m,n}=C_n^mp^{m}q^{n-m}\quad \text{or}\quad P_{m,n}=\frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}.

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли
, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события A
, называют испытаниями Бернулли
, или схемой Бернулли
.

Пример 1.
Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение.
Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая n=5,\,m=1,\,p=0,\!07
, по формуле (3.2) получаем

P_{1,5}=C_5^1(0,\!07)^{1}(0,\!93)^{5-1}\approx0,\!262.

Пример 2.
Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение.

P_{3;8}=C_8^3{\left(\frac{12}{30}\right)\!}^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787.

Как построить диаграмму распределения в Excel

График нормального распределения имеет форму колокола и симметричен относительно среднего значения. Получить такое графическое изображение можно только при огромном количестве измерений. В Excel для конечного числа измерений принято строить гистограмму.

Внешне столбчатая диаграмма похожа на график нормального распределения. Построим столбчатую диаграмму распределения осадков в Excel и рассмотрим 2 способа ее построения.

Имеются следующие данные о количестве выпавших осадков:

Первый способ. Открываем меню инструмента «Анализ данных» на вкладке «Данные» (если у Вас не подключен данный аналитический инструмент, тогда читайте как его подключить в настройках Excel):

Выбираем «Гистограмма»:

Задаем входной интервал (столбец с числовыми значениями). Поле «Интервалы карманов» оставляем пустым: Excel сгенерирует автоматически. Ставим птичку около записи «Вывод графика»:

После нажатия ОК получаем такой график с таблицей:

В интервалах не очень много значений, поэтому столбики гистограммы получились низкими.

Теперь необходимо сделать так, чтобы по вертикальной оси отображались относительные частоты.

Найдем сумму всех абсолютных частот (с помощью функции СУММ). Сделаем дополнительный столбец «Относительная частота». В первую ячейку введем формулу:

Способ второй. Вернемся к таблице с исходными данными. Вычислим интервалы карманов. Сначала найдем максимальное значение в диапазоне температур и минимальное.

Чтобы найти интервал карманов, нужно разность максимального и минимального значений массива разделить на количество интервалов. Получим «ширину кармана».

Представим интервалы карманов в виде столбца значений. Сначала ширину кармана прибавляем к минимальному значению массива данных. В следующей ячейке – к полученной сумме. И так далее, пока не дойдем до максимального значения.

Для определения частоты делаем столбец рядом с интервалами карманов. Вводим функцию массива:

Вычислим относительные частоты (как в предыдущем способе).

Построим столбчатую диаграмму распределения осадков в Excel с помощью стандартного инструмента «Диаграммы».

Частота распределения заданных значений:

NEGBINOM.DIST: отрицательное биноминальное распределение

Функция NEGBINOM.DIST находит вероятность того, что указанное число сбоев произойдет до указанного числа успехов, на основе константы вероятности успеха. Функция использует синтаксис

= NEGBINOM.DIST (number_f, число_успехи, вероятность_успех)

где number_f указанное количество сбоев, число_успехов указанное количество успехов, вероятность_успеха это вероятность успеха, а кумулятивным является переключатель, который вы установили на 0 или FALSE, если вы хотите кумулятивное распределение, и на 1 или TRUE, если вы хотите распределение вероятности.

Например, предположим, что вы оператор нефтедобывающей кошки и хотите знать, что вам не удастся найти нефть ровно в десяти скважинах, прежде чем вы найдете нефть только в одной скважине. Если вероятность успеха составляет 5 процентов, вы можете найти вероятность того, что вы потерпите неудачу десять раз, прежде чем приступить к бурению и поиску нефти, используя формулу

= NEGBINOM.DIST (10,2, .05,0)

который возвращает значение 0,016465266, указывающее, что существует менее 2-процентной вероятности того, что вы десять раз потерпите неудачу, прежде чем попасть в гашер.

Случайная выборка из генеральной совокупности в MS EXCEL

Инструмент Пакета анализа MS EXCEL «Выборка» извлекает случайную выборку из входного диапазона, рассматривая его как генеральную совокупность. Также случайную выборку можно извлечь с помощью формул.

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше

Возвращает распределение Вейбулла. Это распределение используется при анализе надежности, например для вычисления среднего времени наработки на отказ какого-либо устройства.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП.

Функция BINOM.DIST

Другая функция, о которой важно знать в Excel, это BINOM.DIST. Всего существует четыре аргумента для этой функции в следующем порядке:

Number_s — количество успехов. Это то, что мы описываем как К.
Испытания — это общее количество испытаний или N.
Probability_s — это вероятность успеха, которую мы обозначаем как п.
Накопительное использует входные данные либо true, либо false, чтобы вычислить кумулятивное распределение. Если этот аргумент равен false или 0, то функция возвращает вероятность того, что мы имеем точно К Успехи. Если аргумент равен true или 1, то функция возвращает вероятность того, что мы имеем К успехи или меньше.

Например, вероятность того, что ровно три монеты из 10 подбрасываний монет являются головами, определяется как = BINOM.DIST (3, 10,.5, 0). Возвращаемое здесь значение равно 0.11788. Вероятность того, что при подбрасывании 10 монет не более трех голов, определяется как = BINOM.DIST (3, 10,.5, 1). Ввод этого значения в ячейку вернет значение 0,171875.

Именно здесь мы видим простоту использования функции BINOM.DIST. Если бы мы не использовали программное обеспечение, мы сложили бы вероятность того, что у нас нет головок, ровно одна голова, ровно две головки или ровно три головки. Это будет означать, что нам нужно будет рассчитать четыре различных биномиальных вероятности и сложить их вместе.

Случайные величины

Случайная величина — это функция, которая каждому возможному исходу в эксперименте ставит в соответствие действительное число. Можно понимать случайную величину как «кодирование» исходов эксперимента. Иными словами, с помощью случайной величины мы моделируем случайный эксперимент, ведь логично, что в теории вероятностей мы изучаем вероятность наступления какого-либо события

Нас будет интересовать множество значений случайной величины и с какими вероятностями она принимает возможные значения, т.е. мы будем говорить о вероятности событий, которые связаны со случайными величинами. Например, если X — случайная величина (будем обозначать большими латинскими буквами), то нас могут интересовать вероятности событий.

Как записывается событие

{X = a} для некоторого a ∈ R — (в фигурных скобках записано, что случайная величина принимает какое-то значение), a — любое произвольное действительное число, ∈ — принадлежит, R — множество действительных чисел (дробные, иррациональные в т.ч.)
{X < a} для некоторого a ∈ R
{a ≤ X < b} для некоторых a, b ∈ R, a < b (из промежутка для каких-то чисел a и b)

В самом общем виде любое событие можно записать так: {X ∈ A} для некоторого подмножества A ⊂ R

Классификация случайных величин

Можно (нужно!) классифицировать случайные величины по мощности их множества значений

Дискретные случайные величины имеют конечное или счетное
множество значений. Примеры: {1, . . . , n}, N, Z. Это в случае, если бесконечность счетная, т.е. мы можем пересчитать элементы этой бесконечности. Это счетное множество. Например, N — все натуральные числа (от 1 до бесконечности). Z — все целые числа и так далее

Непрерывные случайные величины имеют несчетное множество
значений. Примеры: , R. Это бесконечность на стероидах, т.е. еще «большая» бесконечность, чем обычная бесконечность, т.к. мы не можем пересчитать её элементы. Например, любой отрезок, скажем от 0 до 1, т.к. в нём присутствуют иррациональные числа (дроби, корни), которых очень много. И процесса пересчёта не существует — их будет бесконечно много