Вероятность в excel

Задание длясамостоятельной работы

1.Сформироватьвыборку из 10 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 0 до 1.

2.Сформироватьвыборку из 20 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 5 до 20.

3.Пустьспортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобыдистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.

4.Составитьрасписание внеклассных мероприятий на неделю для случайного проведения:семинаров, интеллектуальных игр, КВН и спец. курса.

5.Составитьрасписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырехрекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика №1должна быть в два раза выше, чем остальных рекламных роликов.

Экспоненциальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Экспоненциального распределения имеется функция ЭКСП.РАСП() , английское название – EXPON.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу в начале статьи) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по экспоненциальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Экспоненциальное распределение имеет обозначение Exp ( λ ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была функция ЭКСПРАСП() , которая позволяет вычислить кумулятивную (интегральную) функцию распределения и плотность вероятности . ЭКСПРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

В файле примера на листе Пример приведены несколько альтернативных формул для вычисления плотности вероятности и интегральной функции экспоненциального распределения :

• =1-EXP(- λ *x) ;
• =ГАММА.РАСП(x;1;1/ λ ;ИСТИНА)>, т.к. экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения ;
• =ВЕЙБУЛЛ.РАСП(x;1;1/ λ ;ИСТИНА)>, т.к. экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла ;

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера создано Имя для параметра распределения – λ .

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда \(p = \frac{1}{6}\). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. \(q = \frac{5}{6}\). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

\(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}\) 

Множитель \(C_n^k\) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

\(P_8(3) = C_8^3 * (\frac{1}{6})^3 * (\frac{5}{6})^5 = \frac{8!}{5!3!} * \frac{1}{6^3} * \frac{5^5}{6^5} = \frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * \frac{5^5}{6^8} \approx 0,1\) 

Расчет вероятности стандартным нормальным распределением в Excel

Пример 2. На заводе изготавливают лампочки. Средний период бесперебойной работы каждой лампы составляет 1000 ч. Стандартное отклонение от срока службы составляет 50 ч. Определить вероятность для каждого из указанных случаев:

1. Купленная лампа будет работать не более 1200 ч.
2. Срок службы составит менее 800 ч.
3. Количество ламп в партии из 500 шт., которые проработают от 900 до 1100 часов.

Вид таблицы данных:

Для расчета вероятности срока службы менее 1200 ч используем следующую формулу:

(1200-B2)/B3 – выражение для расчета переменной z.

В результате вычислений получим следующее значение вероятности:

Аналогично рассчитаем вероятность того, что срок службы составит менее 800 часов:

Результат вычислений (получена слишком маленькая вероятность, поэтому для наглядности был установлен формат Проценты):

Нормальное распределение является симметричным относительно оси ординат, поэтому функция НОРМСТРАСП может вычислить значение даже для отрицательного z.

Для определения числа ламп, которые проработают 900-1100 часов, используем формулу:

То есть, была вычислена разность вероятностей двух событий: есть лампы, которые проработают менее 1100 часов, а также лампы, которые проработают менее 900 часов. Результат произведения полученной вероятности и общего числа ламп в партии является искомым значением.

1 Биномиальное распределение

Представляет собой распределение вероятностей числа наступленийнекоторого события («удачи») в nповторныхнезависимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этогособытия равна p. При этомраспределении разброс вариант (есть или нет события) является следствиемвлияния ряда независимых и случайных факторов.

Примером практического использования биномиального распределенияможет являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесьтребу­ется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям.Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными ине зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации невозможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшемуиспользованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенноеколичество образцов изделий (n). Эти образцы всестороннеепроверяют и регистрируют число бракованных изделий (k). Теоретически числобракованных изделий может быть любым, от 0 до n.

В Excel функция БИНОМРАСПприменяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестовили испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех илинеудача.

Функция использует следующиепараметры:

БИНОМРАСП (число_успехов;число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная), где

число_успехов — это количество успешныхиспытаний;

число_испытаний — это число независимыхиспытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);

вероятность_ успеха — это вероятность успехакаждого испытания;

интегральный — это логическое значение,определяющее форму функции.

Если данный параметр имеетзначение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения(вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_успехов);

если этот параметр имеетзначение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функ­ции плотностираспределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равнозначению аргумента число_ успехов).

Пример 1. Какова вероятность того,что трое из четырех новорож­денных будут мальчиками?

Решение:

1.Устанавливаем табличный курсор в свободнуюячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомойвероятности.

2.Для получения значения вероятностивоспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставкафункции (fx).

3.В появившемся диалоговом окне Мастерфункций – шаг 1 из 2 слева в поле Катего­рия указаны виды функций.Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСПи нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окнофункции. В поле Число_s вводим с клавиатурыколичество успешных испытаний (3). В поле Испытания вво­дим с клавиатурыобщее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_sвводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральныйвводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (0).Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляетсяискомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4новорожденных могут появиться с вероят­ностью 0,25.

Если изменить формулировкуусловия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более трехмальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральный вводим 1 (видфункции распределения интегральный). Вероятность этого события будет равна0,9375.

Как считать вероятности — Ставки на спорт

Решается всё очень просто, если знать, как решать.Пусть A = 2000, B = 900.Тогда p = B / A — это вероятность фактическая, по итогам испытаний.Среднеквадратическое отклонение s равно:Теперь нам нужно выбрать число Z, соответствующее нашей степени уверенности. На английском называется confidence level (z value), там уже небольшая магия, поэтому просто запишите значения:Для 80% уверенности 1.28Для 95% уверенности 1.96Для 99% уверенности 2.58[Как рассчитать самому]Переходим на табличку, она называется Z-table (Right of Curve) их много бывает всяких, нам нужна та, в которой числа в районе 0.5 в таблице. Теперь нужную нам вероятность, например мы хотим узнать какое число соответствует уверенности 70%, мы делим на два, получается 0.7 / 2 = 0.35. Теперь ищем в табличке 0.35, оно находится на пересечении 1 и 0.04, значит искомое z для уверенности 70% равно 1.04

Ну и всё, можно посчитать искомое число по формуле, Х = Z * s / √Ā (это корень из А, если что)

Таким образом для нашей задачи ответ будет 2.18%. Это отклонение от полученной вероятности, которая равна 45% (900 / 2000). То есть можно утверждать с уверенностью 95%, что вероятность события находится в интервале от 42.82% до 47.18%.

[Делаем файлик в экселе]Кто хочет может скопипастить формулы в эксель.Ячейка А1 будет количество испытаний (2000 в нашем примере)Ячейка B1 будет количество успехов (900 в нашем примере)Ячейка C1 будет числом Z, соответствующим желаемой уверенности (1.96 в нашем примере)В ячейку D1 вставьте формулу «=B1/A1», это будет вероятность фактическая.В ячейку E1 вставьте формулу «=SQRT(((A1-B1) * POWER(D1; 2) + B1 * POWER(1-D1;2))/(A1-1))», это будет среднеквадратическое отклонениеВ ячейку F1 вставьте формулу «=C1 * E1 / SQRT(A1)», это и будет доверительный интервал (возможное отклонение реальной вероятности от полученной)

Правила вероятности

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

• Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

  Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

• Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

  Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» . 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:Вероятность событияНезависимые повторные испытания БернуллиНезависимые события

В начало

Содержание портала

Что такое вероятность и как ее посчитать / Хабр

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Применение функции и ее настройка

Когда формула будет готова, необходимо использовать непосредственно саму функцию:

1. Когда получена искомая скидка, остается ее применить для подсчета суммы скидок по каждому наименованию. В этих целях выделяется начальный элемент столбика «Сумма скидки», прописывается формула «=D2*$G$2» и жмется «Enter». Значки доллара проставляются, чтобы во время растягивания формулы на смежные строчки G2 не изменялась.

1. Теперь будет получена сумма скидки для начального наименования. Затем следует навести курсор на угол ячейки, когда он станет «плюсом», зажимается ЛКМ и формула растягивается на необходимые строки.
2. После этого таблица будет окончательно готова.

Теория вероятности формулы и примеры решения задач

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 5

Как построить эмпирическую функцию распределения в excel

Из таблицы n=40, т.е. n=4+10+6+8+7+5=40 Вычислим функцию распределения выборки

Эмпирическая функция распределения имеет вид

Построим график кусочно-постоянной эмпирической функции распределения

таким образом, по данным выборки можно приближенно построить функцию для неизвестной функции выборки.

2 комментария

У вас опечатка, где вы написали n=30, n=4+10+6+8+7+5=30 и F_30, так как n=40.

Построить эмпирическое распределение результатов тестирования в баллах для следующей выборки: 69, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88, 97, 92, 74, 83, 89, 77, 93.

В ячейку А1 введите слова Результаты, в диапазон А2:А16 – результаты тестирования.

Выберите ширину интервала 5 баллов. Тогда при крайних результатах 69 и 97 баллов, получится 7 интервалов. В ячейку С1 введите название интервалов Границы. В диапазон С2:С8 введите граничные значения интервалов: 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

Введите заголовки создаваемой таблицы: в ячейку D1 – Абсолютные частоты, в ячейку Е1 – Относительные частоты, в F1 – Накопленные частоты.

Заполните столбец абсолютных частот. Для этого выделите для них блок ячеек D2:D8, вызовите Мастер функций, категория – Статистические, функция – Частота, в поле Массив данных введите диапазон данных тестирования А2:А16, в поле Массив интервалов введите диапазон интервалов С2:С8, нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В столбце D2:D8 появится массив абсолютных частот.

В ячейке D9 найдите общее количество результатов тестирования, с помощью Автосумма.

Заполните столбец относительных частот. В ячейку Е2 введите формулу =$D2/$D$9 .

Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон Е3:Е8. Получим массив относительных частот.

Заполните столбец накопленных частот. В ячейку F2 скопируйте значение относительной частоты из ячейки Е2. В ячейку F3 введите формулу =F2+E3. Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон F4:F8. Получим массив накопленных частот.

В результате получим таблицу, представленную на рисунке 1.

Пусть Nх — число наблюдений, при которых значение при­знака Х меньше Х. При объеме выборки, равном П, относитель­ная частота события Х XK.

Сама же функция F*(X) служит для оценки теоретической функции распределения F(X) генеральной совокупности.

Пример 3. Построить эмпирическую функцию по заданному распределению выборки:

Решение. Находим объем выборки: П = 10 + 15 + 25 = 50. Наименьшая варианта равна 2, поэтому F*(X) = 0 при Х ≤ 2. Значение Х 6. Напишем формулу искомой эмпирической функции:

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы. 

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен). 

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Рисунок ниже.

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование правила в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

x_интервал Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

Интервал_вероятностей Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

Нижний_предел Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Верхний_предел Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

Если значение в prob_range ≤ 0 или любое значение из prob_range > 1, то #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если сумма значений в prob_range не равна 1, то #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

• Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B_{1, 2} = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 , или 4 , или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,…, и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

• A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

• событие A₁A₁ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₂Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: \(\frac{1}{6}\). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)\)

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Среднее и Математическое ожидание в EXCEL

Среднее выборки или выборочное среднее (sample average, mean) представляет собой среднее арифметическое всех значений выборки .

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки можно использовать функцию СРЗНАЧ() . В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения выборки .

Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины (см. ниже ), т.е. среднего значения исходного распределения, из которого взята выборка .

Примечание : О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL .

Некоторые свойства среднего арифметического :

Сумма всех отклонений от среднего значения равна 0:

• Если к каждому из значений x _i прибавить одну и туже константу с , то среднее арифметическое увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x _i умножить на одну и туже константу с , то среднее арифметическое умножится на такую же константу.

Математическое ожидание

Среднее значение можно вычислить не только для выборки, но для случайной величины, если известно ее распределение . В этом случае среднее значение имеет специальное название — Математическое ожидание. Математическое ожидание характеризует «центральное» или среднее значение случайной величины.

Примечание : В англоязычной литературе имеется множество терминов для обозначения математического ожидания : expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E или first moment M.

Если случайная величина имеет дискретное распределение , то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где x _i – значение, которое может принимать случайная величина, а р(x _i ) – вероятность, что случайная величина примет это значение.

Если случайная величина имеет непрерывное распределение , то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где р(x) – плотность вероятности (именно плотность вероятности , а не вероятность, как в дискретном случае).

Для каждого распределения, из представленных в MS EXCEL, Математическое ожидание можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения (см. соответствующие статьи про распределения ). Например, для Биномиального распределения среднее значение равно произведению его параметров: n*p (см. файл примера ).

Свойства математического ожидания

E=a*E, где а — const

E]=E — т.к. величина E — является const

E=E+E — работает даже для случайных величин не являющихся независимыми.

СОВЕТ : Про другие показатели распределения — Дисперсию и Стандартное отклонение, можно прочитать в статье Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL .