Распределение пуассона в excel

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения , то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: = ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание : Если x не является целым числом, то при вычислении формулы дробная часть числа отбрасывается . Формулы =ПУАССОН.РАСП( 2 ; 4; ЛОЖЬ) и =ПУАССОН.РАСП( 2,9 ; 4; ЛОЖЬ) вернут одинаковый результат.

Связь Распределения Пуассона и Биномиального распределения

Распределение Пуассона с параметром λ( лямбда) является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если:

• параметр nБиномиального распределения стремится к бесконечности;
• вероятность успеха p стремится к 0;
• произведение n*p=λ достаточно мало и постоянно.

Строгое доказательство этого утверждения называется теоремой Пуассона , а приближенная формула – формулой Пуассона .

Примечание : Вывод формулы Пуассона основан на известном пределе

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением . Подробнее, см. раздел Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением .

Для пояснения связи этих двух распределений рассмотрим задачу.

Асимптотические приближения при больших

Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно.
В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром

Строгая формулировка: если и таким образом, что то

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром
Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в .

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

где

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает , что равномерно по всем значениям таким что имеет место

где — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто

Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл

I, §6]:

при

где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

где — функция распределения стандартного нормального закона:

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

где — функция распределения случайной величины На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пример

Пусть Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

Ошибка приближения равна .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Биномиальное распределение

Пусть имеется некое событие
A
.
Вероятность появления события
A

равна
p

,
вероятность непоявления события
A

равна
1 p

,
иногда ее обозначают как
q

.
Пусть
n

число испытаний,
m

частота появления события
A

в этих
n

испытаниях.

Известно, что суммарная вероятность всех возможных комбинаций исходов равна
единице, то есть:

1 = p
n
+ n
· p
n
1 · (1 p
) + C
n
n
2 · p
n
2 · (1 p
) 2 + + C
n
m
· p
m
· (1 p
) n
m
+ + (1 p
) n

.

p n вероятность того, что в n n раз; n · p n 1 · (1 p ) вероятность того, что в n n 1) раз и не произойдет 1 раз; C n n 2 · p n 2 · (1 p ) 2 вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет (n 2) раза и не произойдет 2 раза; P m = C n m · p m · (1 p ) n m вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет m раз и не произойдет (n m ) раз; (1 p ) n вероятность того, что в n испытаниях событие A не произойдет ни разу; число сочетаний из n по m .

Математическое ожидание
M

биномиального распределения равно:

M
= n
· p

,

где
n

число испытаний,
p

вероятность появления события
A
.

Среднеквадратичное отклонение
σ

:

σ
= sqrt(n
· p
· (1 p
))
.

Пример 1
.
Вычислить вероятность того, что событие,
имеющее вероятность
p
= 0.5
,
в
n
= 10

испытаниях произойдет
m
= 1

раз. Имеем:
C
10 1 = 10
,
и далее:
P
1 = 10 · 0.5 1 · (1 0.5) 10 1 = 10 · 0.5 10 = 0.0098
.
Как видим, вероятность наступления этого события достаточно мала. Объясняется это,
во-первых, тем, что абсолютно не ясно, произойдет ли событие или нет, поскольку
вероятность равна 0.5 и шансы здесь «50 на 50»; а во-вторых, требуется
исчислить то, что событие произойдет именно один раз (не больше и не меньше) из десяти.

Пример 2
.
Вычислить вероятность того, что событие,
имеющее вероятность
p
= 0.5
,
в
n
= 10

испытаниях произойдет
m
= 2

раза. Имеем:
C
10 2 = 45
,
и далее:
P
2 = 45 · 0.5 2 · (1 0.5) 10 2 = 45 · 0.5 10 = 0.044
.
Вероятность наступления этого события стала больше!

Пример 3
.
Увеличим вероятность наступления самого события. Сделаем его более вероятным.
Вычислить вероятность того, что событие, имеющее вероятность
p
= 0.8
,
в
n
= 10

испытаниях произойдет
m
= 1

раз. Имеем:
C
10 1 = 10
,
и далее:
P
1 = 10 · 0.8 1 · (1 0.8) 10 1 = 10 · 0.8 1 · 0.2 9 = 0.000004
.
Вероятность стала меньше, чем в первом примере! Ответ, на первый взгляд,
кажется странным, но поскольку событие имеет достаточно большую вероятность,
вряд ли оно произойдет только один раз. Более вероятно, что оно произойдет
большее, чем один, количество раз. Действительно, подсчитывая
P
0
,
P
1
,
P
2
,
P
3
,
,
P
10

(вероятность того, что событие в
n
= 10

испытаниях произойдет 0, 1, 2, 3, , 10 раз), мы увидим:

C
10 0 = 1
,
C
10 1 = 10
,
C
10 2 = 45
,
C
10 3 = 120
,
C
10 4 = 210
,
C
10 5 = 252
,
C
10 6 = 210
,
C
10 7 = 120
,
C
10 8 = 45
,
C
10 9 = 10
,
C
10 10 = 1
;

P
0 = 1 · 0.8 0 · (1 0.8) 10 0 = 1 · 1 · 0.2 10 = 0.0000
;
P
1 = 10 · 0.8 1 · (1 0.8) 10 1 = 10 · 0.8 1 · 0.2 9 = 0.0000
;
P
2 = 45 · 0.8 2 · (1 0.8) 10 2 = 45 · 0.8 2 · 0.2 8 = 0.0000
;
P
3 = 120 · 0.8 3 · (1 0.8) 10 3 = 120 · 0.8 3 · 0.2 7 = 0.0008
;
P
4 = 210 · 0.8 4 · (1 0.8) 10 4 = 210 · 0.8 4 · 0.2 6 = 0.0055
;
P
5 = 252 · 0.8 5 · (1 0.8) 10 5 = 252 · 0.8 5 · 0.2 5 = 0.0264
;
P
6 = 210 · 0.8 6 · (1 0.8) 10 6 = 210 · 0.8 6 · 0.2 4 = 0.0881
;
P
7 = 120 · 0.8 7 · (1 0.8) 10 7 = 120 · 0.8 7 · 0.2 3 = 0.2013
;
P
8 = 45 · 0.8 8 · (1 0.8) 10 8 = 45 · 0.8 8 · 0.2 2 = 0.3020
(самая большая вероятность!);
P
9 = 10 · 0.8 9 · (1 0.8) 10 9 = 10 · 0.8 9 · 0.2 1 = 0.2684
;
P
10 = 1 · 0.8 10 · (1 0.8) 10 10 = 1 · 0.8 10 · 0.2 0 = 0.1074

Разумеется,
P
0 + P
1 + P
2 + P
3 + P
4 + P
5 + P
6 + P
7 + P
8 + P
9 + P
10 = 1
.

Синтаксис

Аргументы функции ПУАССОН описаны ниже.

X Обязательный. Количество событий.

Среднее Обязательный. Ожидаемое числовое значение.

Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определя которое определяет форму возвращаемого распределения вероятности. Если значение «совокупное» имеет значение ИСТИНА, то пуассон возвращает совокупное значение вероятности того, что число случайных событий включительно будет от нуля до x. Если этот ложь, возвращается функция массовой вероятности Пуассона, которая вероятность того, что количество произошедших событий будет точно x.

Примеры дискретных распределений

Константа. Да, это тоже случайная величина в теории вероятностей. Случайная величина X называется константой, если она принимает лишь одно значение c ∈ R с вероятностью 1

Распределение Бернулли, p ∈

Самое простое распределение. То самое подбрасывание монетки, где у нас есть всего два исхода (то, что монетка может упасть ребром, мы не рассматриваем). Обозначается Ber(p). Имеет параметр p ∈ , где p — вероятность успеха.

Случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром p ∈ , если X принимает значение 1 с вероятностью p и значение с вероятностью 1 − p. Параметр p называется вероятностью успеха

Таблица распределения:

Пишется как: X ∼ Ber(0.5) — это как раз про монетку, X ∼ Ber(1).

Примеры распределения Бернулли в реальной жизни: пол сотрудника, победа спортивной команды, бумага в общественном туалете (либо она есть, либо её нет).

Равномерное распределение на конечном множестве

Случайная величина X имеет равномерное распределение на множестве {a1, a2, . . . , an}, если X принимает каждое значение a_i с вероятностью 1/n. Т.е. конечное количество исходов, где каждый из них принимается с одинаковой вероятностью. Таблица распределения имеет следующий вид:

Примеры равномерного распределения в реальной жизни: игральная кость, рулетка

Биномиальное распределение Bin(n, p), n ∈ N, p ∈

Здесь у нас уже два параметра. Случайная величина Y имеет биномиальное распределение с параметрами n ∈ N и p ∈ , если Y = X1 + X2 + . . . + Xn, где X1, X2, . . . , Xn ∼ Ber(p) независимые, т.е. сумма независимых случайных величин с равностью успеха p (с одной и той же вероятностью успеха). Фактически, Y — это количество «успехов» в n независимых испытания Бернулли, от нуля до n

Распределение Пуассона Pois(λ), λ > 0

Параметр лямбда (λ) — это интенсивность (число больше нуля). Чем больше значение λ, тем будет больше вероятность успеха за фиксированный временной интервал (характеризует интенсивность процесса, как часто встречаются успехи в нём)

Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0, если X принимает значения k = 0, 1, 2, . . . с вероятностями:

k! — факториал числа k (произведение всех натуральных чисел от 1 до k включительно)

Является предельным распределением для Bin(n, p) при p → 0, np → λ. Параметр p зависит от n. При n стремящемся к бесконечности (n -> ∞), р будет стремиться к нулю (p -> 0), но при этом np ->  λ. Например, у нас есть игра «Морской бой»

Где n- количество ходов (снарядов), а m — количество блоков. Вероятность попасть в один блок (p) будет равна 1/m. Получается биноминальное распределение с такими параметрами можно попытаться аппроксимировать с помощью распределения Пуассона

Примеры распределения Пуассона в реальной жизни: По сути, это будет количество событий, которые произошли за какой-либо временной промежуток, например: количество звонков в call-центре за час, количество рожденных детей за год

Небольшая задачка

На пустынном шоссе вероятность появления автомобиля за30-минутный период составляет 0.95. Какова вероятность его появленияза 10 минут? 

Решить её в лоб не получится, т.к.0.95 нельзя просто поделить на три — вероятность встретить автомобиль даже в случае 30 минут не равна единице, но при этом, мы можем встретить не один автомобиль, а два. Или даже три — есть множество комбинаций вероятностей.

Данная задача часто встречается на собеседованиях и интервьюеров больше интересуют ваши рассуждения о процессе решения, будете ли вы усложнять или упрощать решение.

Что сюда можно прикрутить? Условия задачи отлично подходят для распределения Бернулли. Мы можем разделить отрезок 30 минут на три равных, по 10 минут. У каждого отрезка есть случайная величина. Каждая X_i — это бернуллиевская случайная величина с вероятностью наступления успеха p

Вспоминаем таблицу распределения:

Задача сводится к том, что нам нужно найти вероятность успеха р. Получается, что нашу вероятность можно записать так:

P (X_i =1 хотя бы для одного i = 1,2,3) = 0.95

Вероятность того, что мы встретим хотя бы один автомобиль равна единице. НО! Если в событие встроено условие «хотя бы один», будет правильным перейти к дополнительному событию. Здесь мы перемножаем вероятность для x_i = 0, которая равняется 1-p.

1 − P(все X_i = 0 для всех i=1,2,3) или же 1- (1-p)3

Таким образом мы получаем:

1- (1-p)3 = 0.95

В итоге, чтобы посчитать вероятность события (р), нам нужно привести формулу к такому виду:

p = 1 − 3√ 1 − 0.95

Кубический корень из 0,05 ≈ 0.37, соответственно, 1 — 0,37 = 0,67

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, . вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины — 0):

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины — 1):

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

Решение. Случайная величина X — число звонков за 2 минуты с параметром — распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

а) (так как 0! = 1 ).

б) .

в) .

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

Решение. Случайная величина X — число составов за 0,5 часа с параметром — распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

а) .

б) .

в) .

Связь Распределения Пуассона и Биномиального распределения

Распределение Пуассона с параметром λ( лямбда) является предельным случаем Биномиального распределения , при условии, если:

• параметр nБиномиального распределения стремится к бесконечности;
• вероятность успеха p стремится к 0;
• произведение n*p=λ достаточно мало и постоянно.

Строгое доказательство этого утверждения называется теоремой Пуассона , а приближенная формула – формулой Пуассона .

Примечание : Вывод формулы Пуассона основан на известном пределе

Можно сформулировать условия, когда приближение распределением Пуассона работает хорошо:

p0,9 (учитывая, что q=1-p , вычисления в этом случае необходимо производить через q (а х нужно заменить на n-x ). Следовательно, чем меньше q и больше n , тем приближение точнее).

Примечание : Если 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением . Подробнее, см. раздел Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением .

Для пояснения связи этих двух распределений рассмотрим задачу.

Нормальное распределение

Специалист отдела качества тестирует электронные устройства. Выдвигается гипотеза, что величина выходного напряжения устройства имеет нормальное распределение .

Для проверки гипотезы взята выборка из 100 устройств, среднее выборки равно 4,999 В, стандартное отклонение – 0,066 В.

В отличие от дискретного случая ( распределение Пуассона ) нам необходимо разделить непрерывный диапазон изменения случайной величины на несколько интервалов. Обычно границы интервалов выбираются таким образом, чтобы теоретическая частота была одинакова для каждого интервала.

Разобьем диапазон на 8 частей. Нужно определить границы интервалов так, чтобы вероятность, что случайная величина примет значение из любого интервала была равна 1/8=0,125. Эти границы можно вычислить с помощью функции =НОРМ.ОБР(1/8*i; 4,999; 0,066) , где i – порядковый номер границы.

Дальнейшая процедура аналогична проверке простой гипотезы (расчеты см. в файле примера лист Слож.гипотеза_Нормальное ).

СОВЕТ : О проверке других видов гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL .

Рассмотрим взаимосвязь Биномиального распределения, распределения Пуассона, Нормального распределения и Гипергеометрического распределения. Определим условия, когда возможна аппроксимация одного распределения другим, приведем примеры и графики.

Схема взаимосвязи 4-х распределений случайных величин выглядит так:

• Биномиальное распределение B(n;p),
• Распределение Пуассона Pois(λ),
• Нормальное распределение N(μ;σ) и
• Гипергеометрическое распределение H(n;D;N)

Формулы приближенного вычисления разрабатывались для упрощения и ускорения вычислений в условиях отсутствия или дороговизны времени вычислительных машин. Учитывая современные возможности компьютеров, аппроксимация для этих целей сейчас стала бессмысленна. Однако, примеры, рассмотренные ниже, полезны для понимания условий применения того или иного распределения при решении реальных практических задач и понимания взаимосвязи различных распределений между собой.

Задача

Типичным применением Распределения Пуассона
в контроле качества является модель количества дефектов, которые могут появиться в приборе или устройстве.

Например, при среднем количестве дефектов в микросхеме λ (лямбда) равном 4, вероятность, что случайно выбранная микросхема будет иметь 2 или меньше дефектов, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА)=0,2381

Третий параметр в функции установлен = ИСТИНА, поэтому функция вернет интегральную функцию распределения
, то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до 4 включительно.

Вычисления в этом случае производятся по формуле:

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь ровно 2 дефекта, равна: =ПУАССОН.РАСП(2;4;ЛОЖЬ)=0,1465

Третий параметр в функции установлен = ЛОЖЬ, поэтому функция вернет плотность вероятности.

Вероятность того, что случайно выбранная микросхема будет иметь больше 2-х дефектов, равна: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ИСТИНА) =0,8535

Примечание
: Если x
не является целым числом, то при вычислении формулы . Формулы =ПУАССОН.РАСП(2
; 4; ЛОЖЬ)
и =ПУАССОН.РАСП(2,9
; 4; ЛОЖЬ)
вернут одинаковый результат.

Примеры решенных задач

Задача 1.
Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.

Задача 2.
На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?

Задача 3.
АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.

Задача 4.
Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $\lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 \le X \lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.

Задача 5.
Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?

Задача 6.
В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.

Задача 7.
Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.

$Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$=$\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном
в 1837 г.)

Распределение Пуассона
также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$- число испытаний Бернулли, $р$- вероятность осуществления события в одном испытании.

Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.

Теорема 1

Теорема Пуассона.

Если в схеме Бернулли n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так что $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (конечному числу), то

$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,… $

Без доказательства.

Примечание 1

Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$, причём $n \cdot p $

Математическое ожидание
случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$:

$М(Х)$=$\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.

Дисперсия
случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .