Нормальное распределение непрерывной случайной величины

4.3.1 Нормальное распределение. Практикум в SPSS

Развернуть

Пример 4.3(1). Рассмотрим пример нормального распределения в психологическом исследовании. Допустим, мы измерили коэффициент интеллекта (по стандартной шкале IQ) у нормальных взрослых испытуемых. Модельные данные такого исследования представлены в файле NormIQ.sav. В единственной переменной IQ содержатся баллы IQ 150 испытуемых. Известно, что шкала IQ строилась так, что средний балл этого показателя равен 100, а стандартное отклонение — 15 баллам.

Сначала рассмотрим распределение полученных данных. Нарисуем гистограмму данных с помощью меню Графика — Устаревшие диалоговые окна — Гистограмма (Graphics — Legacy Dialogs — Histogram). Полученный результат представлен на рис. 4.3(2).

Рис. 4.3(2). Распределение баллов IQ у 150 испытуемых. Для удобства читателя мы надписали частоты появления значений над столбиками гистограммы

Можно заметить, что выборочное среднее практически совпадает со средним по генеральной совокупности, равным 100, и стандартное отклонение также слабо отличается от 15. Будем, тем не менее, пользоваться выборочными оценками для упражнений.

Теперь мы сравним выборочные частоты отклонений с теоретически предсказанным нормальным распределением.

Можно видеть, что имеется семь наблюдений меньше или равных 75. Для оценки возьмем значение 75.5, лежащее в середине отрезка (75, 76). Отклонение от выборочного среднего, измеренное в стандартных отклонениях, равно ​ (75.5 — 99.88)/15.26 = -1.53​.

В таблице распределения стандартной нормальной величины (см. ) против 1.5 стоит значение 0.433, числу 1.53 можно считать соответствующим значение 0.44. На долю больших, чем 1.53 значений случайной величины (а значит и меньших, чем -1.53) приходится доля 0.06 от выборки. Наша выборка дает 7 из 150 (см. гистограмму), что составляет 0.047 — довольно близкое к 0.06 значение.

Упражнение 4.3(3). Проведите аналогичные оценки для значений 125, 110, 90.

Пример 4.3(4). В подпараграфе рассматривается пример случайной величины — отклонения брошенного шара для боулинга от центральной кегли, измеренного в дециметрах. В файле Bouling.sav в переменной distance содержатся модельные данные такой случайной величины (результаты 1000 бросков шара). Оценим по этим данным частоту наблюдения события «шар отклонится от центральной кегли больше, чем на 1 дециметр». Для этого в SPSS можно вычислить новую переменную, которая будет принимать значение 1 при условии, что расстояние меньше единицы. Для этого надо зайти в меню Преобразование — Вычислить переменную (Transform — Compute Variable). В появившемся диалоговом окне зададим в поле Целевая переменная (Target Variable) имя новой переменной less1, а в поле Цифровое выражение (Numeric Expression) — значение переменной «1». Затем, в дополнительном окне Если (If) выберем пункт Выбрать наблюдения, удовлетворяющие условию (Include if case satisfies condition) и зададим условие ABS(distance) <= 1 (абсолютное значение переменной distance меньше или равно нулю). После выполнения расчета в таблице данных появится новая переменная less1.

Упражнение 4.3(5). Рассчитайте количество единиц в этой переменной (с помощью знакомого нам расчета частот) и сравните с теоретической вероятностью, полученной в упражнении .

Пример 4.3(6). Этот пример призван проиллюстрировать сходимость к нормальному распределению сумм независимых случайных величин В файле CenLimTh.sav содержатся результаты испытаний пяти очень разных случайных величин (переменные V1, V2, V3, V4 и V5).

Упражнение 4.3(7). Постройте гистограммы каждой из них. Вычислите их сумму  и постройте гистограмму суммы. Чтобы сравнить с нормально распределенной случайной величиной, присвойте переменной SN с помощью генератора случайных чисел, имеющих нормальное распределение N(24, 5), случайные значения и постройте гистограмму. Сравните две гистограммы.

Графики функций

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей нормальное распределение , находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для стандартного нормального распределения можно записав формулу:

которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от среднего (см. лист График в файле примера ).

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения: f ( x )= f (-х) , функция стандартного нормального распределения обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

Для произвольной функции нормального распределения N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для построения доверительных интервалов .

Примечание : Для построения функции распределения и плотности вероятности можно использовать диаграмму типа График или Точечная (со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении диаграмм читайте статью Основные типы диаграмм .

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера созданы Имена для параметров распределения: μ и σ.

12 комментариев

Ренат, добрый день. Все несколько проще: Данные->Анализ данных->Генерация случайных чисел (Распределение=Нормальное) + Данные->Анализ данных->Гистограмма->Галка на «вывод графика» («Карманы» можно даже не задавать)

Диаграмма нормального распределения (Гаусса) в Excel

Требуется построить диаграмму стандартного нормального распределения Гаусса (стандартное нормальное распределение имеет М = 0 и = 1), используя функцию НОРМСТРАСП.

1. В ячейку A3 введем символ х, а в ячейку ВЗ — символ функции плотности вероятности f(x).

2. Вычислим нижнюю М — За границу диапазона значений х, для чего установим курсор в ячейку С2 и введем формулу =0-3*1, а также верхнюю границу — в ячейку Е2 введем формулу =0+3*1.

3. Скопируем формулу из ячейки С2 в ячейку А4, полученное в ячейке А4 значение нижней границы будет началом последовательности арифметической прогрессии.

4. Создадим последовательность значений х в требуемом диапазоне, для чего установим курсор в ячейку А4 и выполним команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия.

5. В открывшемся окне диалога Прогрессия установим переключатели арифметическая, по столбцам, в поле Шаг введем значение 0,5, а в поле Предельное значение — число, равное верхней границе диапазона.

Функция НОРМРАСПР в EXCEL

6. Щелкнем на кнопке ОК. В диапазоне А4:А16 будет сформирована последовательность значений х.

7. Установим курсор в ячейку В4 и выполним команду меню Вставка/Функция. В открывшемся окне Мастер функций выберем категорию Статистические, а в списке функций — НОРМРАСП.

8. Установим значения параметров функции НОРМРАСП: для параметра х установим ссылку на ячейку А4, для параметра Среднее — введем число 0, для параметра Стандартное_откл — число 1, для параметра Интегральное — число 0 (весовая).

Диаграмма нормального интегрального распределения в EXCEL

9. Используя маркер буксировки, скопируем полученную формулу в диапазон ячеек В5:В16.

10. Выделим диапазон полученных табличных значений функции f(х) (ВЗ:В16) и выполним команду меню Вставка/Диаграмма. В окне Мастер диаграмм во вкладке Стандартные выберем График, а в поле Вид — вид графика, щелкнем на кнопке Далее.

11. В окне Мастер диаграмм (шаг 2) выберем закладку Ряд. В поле Подписи оси х укажем ссылку на диапазон, содержащий значения х (А4:А16). Щелкнем на кнопке Далее.В окне Мастер диаграмм (шаг 3) введем подписи: Название диаграммы, Ось х, Ось у. Щелкнем на кнопке Готово. На рабочий лист будет выведена диаграмма плотности вероятности .

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ2 – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин x ( i ) с параметрами μ ( i ) и σ ( i ) также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ (1)+ μ(2) и КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

С помощью надстройки Пакет анализа сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.

Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.

С помощью функций СРЗНАЧ() и СТАНДОТКЛОН.В() вычислим среднее и дисперсию получившейся выборки и сравним их с расчетными.

Кроме того, построим График проверки распределения на нормальность ( Normal Probability Plot ), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из нормального распределения .

Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой стандартного отклонения , а пересечение с осью y (параметр b) – среднего значения.

Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения N (μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2) ).

Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.

В качестве примера можно провести следующую задачу.

Задача . Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг. Решение . Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и стандартным отклонением =КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2)) , запишем решение = 1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА) Ответ : 15% (см. файл примера лист Линейн.комбинация )

Характеристики нормального распределения

Непрерывная случайная переменная, которая подчиняется нормальному распределению вероятностей, обладает некоторыми особыми свойствами. Предположим, что вся производимая продукция подчиняется нормальному распределению со средним значением 100 грамм и стандартным отклонением 3 грамма. Распределение вероятностей для такой случайной переменной представлено на рисунке.

Из этого рисунка мы можем сделать следующие наблюдения относительно нормального распределения — оно имеет форму колокола и симметрично относительно среднего значения.

Стандартное отклонение имеет немаловажную роль в форме изгиба. Если посмотреть на предыдущий рисунок, то можно заметить, что практически все измерения веса продукта попадают в интервал от 95 до 105 граммов. Давайте рассмотрим следующий рисунок, на котором представлено нормальное распределение с той же средней – 100 грамм, но со стандартным отклонением всего 1,5 грамма

Здесь вы видите, что измерения значительно плотней прилегают к среднему значению. Почти все производимые продукты попадают в интервал от 97 до 102 грамм.

Небольшое значение стандартного отклонения выражается в более «тощей и высокой кривой, плотно прижимающейся к среднему значению. Чем больше стандартное, тем «толще», ниже и растянутее получается кривая.

Алгоритм функции нормального стандартного распределения чисел в Excel

В новых версиях Microsoft Office была введена более универсальная функция =НОРМ.СТ.РАСП(), содержащая дополнительный аргумент, который принимает два возможных значения:

• ИСТИНА – для получения интегральной функции распределения;
• ЛОЖЬ – для получения весовой функции распределения.

Стандартное нормальное распределение (СНР) – специальная форма распределения, используемая в качестве эталона для оценки данных любого вида. Данный тип распределения по причине неудобства использования формулы общего нормального распределения на практике.

Главные особенности функции:

1. Площадь участка, ограниченного кривой и осью абсцисс принята за 1.
2. Стандартное отклонение считается равным 1.
3. Среднее арифметическое значение принято равным 0.
4. В функцию f(x) общего теоретического нормального распределения введена переменная z (стандартная нормальная).

Переменная z рассчитывается по формуле:

• X – значение некоторой случайной величины;
• µ — среднее значение;
• ó — значение стандартного отклонения.

Смысл переменной z – число стандартных отклонений, на которые отличается значение случайной величины от среднего значения.

Функция НОРМСТРАСП возвращает результат, рассчитанный на основе следующей формулы:

Именно так и выглядит алгоритм вычисления функции НОРМСТРАСП в Excel

Как построить график с нормальным распределением в Excel

Так как я часто имею дело с большим количеством данных, у меня время от времени возникает необходимость генерировать массивы значений для проверки моделей в Excel. К примеру, если я хочу увидеть распределение веса продукта с определенным стандартным отклонением, потребуются некоторые усилия, чтобы привести результат работы формулы СЛУЧМЕЖДУ() в нормальный вид. Дело в том, что формула СЛУЧМЕЖДУ() выдает числа с единым распределением, т.е. любое число с одинаковой долей вероятности может оказаться как у нижней, так и у верхней границы запрашиваемого диапазона. Такое положение дел не соответствует действительности, так как вероятность возникновения продукта уменьшается по мере отклонения от целевого значения. Т.е. если я произвожу продукт весом 100 грамм, вероятность, что я произведу 97-ми или 103-граммовый продукт меньше, чем 100 грамм. Вес большей части произведенной продукции будет сосредоточен рядом с целевым значением. Такое распределение называется нормальным. Если построить график, где по оси Y отложить вес продукта, а по оси X – количество произведенного продукта, график будет иметь колоколообразный вид, где наивысшая точка будет соответствовать целевому значению.

Таким образом, чтобы привести массив, выданный формулой СЛУЧМЕЖДУ(), в нормальный вид, мне приходилось ручками исправлять пограничные значения на близкие к целевым. Такое положение дел меня, естественно, не устраивало, поэтому, покопавшись в интернете, открыл интересный способ создания массива данных с нормальным распределением. В сегодняшней статье описан способ генерации массива и построения графика с нормальным распределением.

Круговые диаграммы для иллюстрации распределения

С помощью круговой диаграммы можно иллюстрировать данные, которые находятся в одном столбце или одной строке. Сегмент круга – это доля каждого элемента массива в сумме всех элементов.

С помощью любой круговой диаграммы можно показать распределение в том случае, если

• имеется только один ряд данных;
• все значения положительные;
• практически все значения выше нуля;
• не более семи категорий;
• каждая категория соответствует сегменту круга.

На основании имеющихся данных о количестве осадков построим круговую диаграмму.

Доля «каждого месяца» в общем количестве осадков за год:

Круговая диаграмма распределения осадков по сезонам года лучше смотрится, если данных меньше. Найдем среднее количество осадков в каждом сезоне, используя функцию СРЗНАЧ. На основании полученных данных построим диаграмму:

Получили количество выпавших осадков в процентном выражении по сезонам.

В двух словах: Добавляем полосу прокрутки к гистограмме или к графику распределения частот, чтобы сделать её динамической или интерактивной.

Уровень сложности: продвинутый.

На следующем рисунке показано, как выглядит готовая динамическая гистограмма:

Шаг № 8: Измените тип диаграммы для серии этикеток.

Наш следующий шаг — изменить тип диаграммы недавно добавленной серии, чтобы маркеры данных отображались в виде точек. Для этого щелкните правой кнопкой мыши график диаграммы и выберите «Изменить тип диаграммы.”

Затем создайте комбинированную диаграмму:

1. Перейдите к Комбо таб.
2. Для Серия «Series2», изменение «Тип диаграммы» к «Разброс.

   Примечание. Убедитесь, что «Серия1»Остается как«Скаттер с плавными линиями. » Иногда Excel изменяет его, когда вы делаете Комбо Также убедитесь, что «Серия1”Не перемещается на вторичную ось — флажок рядом с типом диаграммы не должен быть отмечен.

   ”

3. Нажмите «Ok.”

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры Биномиального распределения B(n;p) находятся в пределах 0,1 10, то Биномиальное распределение можно аппроксимировать Нормальным распределением .

При значениях λ >15 , Распределение Пуассона хорошо аппроксимируется Нормальным распределением с параметрами: μ =λ , σ 2 = λ .

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL . Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Что такое нормальное распределение?

Если вы неоднократно измеряете величину, которая изменяется более или менее случайным образом, (уровни напряжения шума, фактические значения сопротивления резисторов 47 кОм, результаты тестов в классе, длину травинок на лужайке и т.д.), вероятно, что по мере накопления всё большего количества данных распределение значений будет постепенно напоминать форму, показанную ниже.

Рисунок 1 – Гистограмма, изображающая нормальное или гауссово распределение

Это называется нормальным или гауссовым распределением

Оно похоже на знакомую форму колоколообразной кривой, но здесь важно использовать термины «нормальное» или «гауссово», а не «колоколообразная кривая», потому что и другие типы распределений имеют аналогичную форму. Многочисленные явления, изучаемые в технических, физических и социальных науках, при статистическом анализе дают нормальное распределение

Использование[править | править код]

Прописная Φ

• Магнитный поток в физике. Также часто потоки других векторных полей (при необходимости различать потоки разных полей, добавляется индекс);
• Поток излучения и световой поток в физике;
• Работа выхода в физике;
• Кумулятивная функция распределения нормального распределения в теории вероятностей и статистике.

Строчная φ

• Золотое сечение φ = 1,618… в математике, искусстве и архитектуре.
• Функция Эйлера φ(n ) в теории чисел, а также обозначение произвольной функции.
• Угол, в особенности: аргумент комплексного числа;
• фаза колебаний;
• в электротехнике — угол сдвига фаз;
• в полярной системе координат — угол с полярной осью;
• в сферических координатах — чаще всего — угол проекции радиус-вектора на плоскость xy с осьюx .

в географии, картографии, навигации — широта.

в физике — угол поворота.

• в химии: объёмная доля — отношение объёма какого-то вещества в смеси к объёму всей смеси.
• Электростатический потенциал и вообще скалярный потенциал в физике (также часто и другие потенциалы, например, нередко, электромагнитный потенциал φi).
• Относительная влажность в физике.
• Игра Фи в психологии.
• Утверждение в логике первого порядка.
• Коэффициент фиктивности во внутренней баллистике.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.

Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал .

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

• х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
• интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
• нижний предел равен значению 1;
• верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

• х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
• интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
• нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Задачи

Задача1 . Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их. Решение1 : = 1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ? Решение2 : = НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25) На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Задача3 . Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий? Решение3 : = НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25) =20,6899 или = НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2 (произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4 . Нахождение параметров нормального распределения по значениям 2-х квантилей (или процентилей ). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я процентиля (например, 0,5- процентиль , т.е. медиана и 0,95-я процентиль ). Т.к. известна медиана , то мы знаем среднее , т.е. μ. Чтобы найти стандартное отклонение нужно использовать Поиск решения . Решение приведено в файле примера лист Задачи .

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции НОРМОБР() и НОРМСТОБР() , которые эквивалентны НОРМ.ОБР() и НОРМ.СТ.ОБР() . НОРМОБР() и НОРМСТОБР() оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.