Как в excel построить нормальное распределение

Синтаксис

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

Аргументы функции НОРМРАСП описаны ниже.

• X     Обязательный. Значение, для которого строится распределение.

• Среднее     Обязательный. Среднее арифметическое распределения.

• Стандартное_откл     Обязательный. Стандартное отклонение распределения.

• Интегральная     — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент “интегральная” имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается весовая функция распределения.

Шаг № 8: Измените тип диаграммы для серии этикеток.

Наш следующий шаг — изменить тип диаграммы недавно добавленной серии, чтобы маркеры данных отображались в виде точек. Для этого щелкните правой кнопкой мыши график диаграммы и выберите «Изменить тип диаграммы.”

Затем создайте комбинированную диаграмму:

1. Перейдите к Комбо таб.
2. Для Серия «Series2», изменение «Тип диаграммы» к «Разброс.

   Примечание. Убедитесь, что «Серия1»Остается как«Скаттер с плавными линиями. » Иногда Excel изменяет его, когда вы делаете Комбо Также убедитесь, что «Серия1”Не перемещается на вторичную ось — флажок рядом с типом диаграммы не должен быть отмечен.

   ”

3. Нажмите «Ok.”

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ=0 и дисперсией σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (0;1).

Примечание : В литературе для случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение z.

Любое нормальное распределение можно преобразовать в стандартное через замену переменной z =( x -μ)/σ . Этот процесс преобразования называется стандартизацией .

Примечание : В MS EXCEL имеется функция НОРМАЛИЗАЦИЯ() , которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то нормализацией . Формулы =(x-μ)/σ и =НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ) вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для стандартного нормального распределения имеется специальная функция НОРМ.СТ.РАСП() и ее устаревший вариант НОРМСТРАСП() , выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации нормального распределения N (1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по нормальному закону N(1,5; 2) , меньше или равна 2,5. Формула выглядит так: =НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА) =0,691462. Сделав замену переменной z =(2,5-1,5)/2=0,5 , запишем формулу для вычисления Стандартного нормального распределения: =НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА) =0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см. файл примера лист Пример ).

Обратите внимание, что стандартизация относится только к интегральной функции распределения (аргумент интегральная равен ИСТИНА), а не к плотности вероятности. Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z)

В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА). Вычисления производятся по формуле

Примечание : В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по стандартному нормальному закону, закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле =НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА) . Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции плотности стандартного нормального распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция стандартного нормального распределения обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Нормальное распределение в Excel (НОРМРАСП)

НОРМРАСП означает «Нормальное распределение». НОРМРАСП в Excel — это встроенная функция, которая используется для вычисления нормального распределения для заданного среднего и заданного стандартного отклонения в определенном наборе данных, она используется в статистике, эта функция принимает четыре аргумента, первый из которых представляет собой значение X и среднее значение и стандартное отклонение в качестве второго и третьего аргументов и совокупное значение в качестве последнего аргумента.

Синтаксис

Формула нормального распределения в Excel включает 4 аргумента.

• X: это обязательный аргумент для функции НОРМРАСП в excel. Это значение, необходимое нам для расчета нормального распределения в Excel.
• Среднее: Это среднее значение распределения, т.е. Среднее значение.
• Стандартное отклонение: это стандартное отклонение распределения точек данных.
• Накопительное: это логическое значение. Упоминая TRUE или FALSE, мы должны указать тип распределения, который мы собираемся использовать. TRUE означает кумулятивную функцию нормального распределения, а FLASE означает функцию нормальной вероятности.
• Примечание. В Excel 2010 и более ранних версиях вы можете увидеть нормальное распределение в excel, но в 2010 и более поздних версиях оно заменено функцией НОРМРАСП в excel. Хотя нормальное распространение в Excel все еще существует в последних версиях, оно может быть недоступно позже. Он по-прежнему существует для поддержки совместимости.

Как использовать НОРМРАСП в Excel? (с примерами)

Пример # 1

У меня есть данные о котировках акций одной из компаний. Их установленная цена акций составляет 115, общая средняя цена акций — 90, а значение SD — 16.

Нам нужно показать вероятность того, что цена акции находится на уровне 115.

Позвольте мне применить кумулятивный НОРМРАСП в excel.

X мы выбрали начальную цену акции, в качестве среднего мы взяли общую среднюю цену, а для SD мы рассмотрели значение ячейки B4 и использовали TRUE (1) как для типа распределения.

Результат равен 0,9409, что означает 94% графика цены акции в этом диапазоне.

Если я изменю тип распределения на нормальное (FALSE — 0), мы получим следующий результат.

Это означает 0,74% от цены акции в этом диапазоне.

Пример # 2

Позвольте мне рассмотреть приведенные ниже данные для нормального распределения в Excel.

• Выборка генеральной совокупности, т.е. х составляет 200
• Среднее или среднее значение 198
• Стандартное отклонение 25

Применение кумулятивного нормального распределения в Excel

Значение нормального распределения Excel составляет 0,53188, т.е. 53,18% — это вероятность.

• Функция НОРМРАСП в Excel предназначена только для поддержки совместимости с Excel. В 2010 году и в последней версии он заменен на нормальное распространение в Excel.
• НОРМ.РАСП принимает только числовые значения.
• Стандартное отклонение аргумента должно быть больше нуля, иначе мы получим # ЧИСЛО! как ошибка в excel.
• Если предоставленные аргументы не являются числовыми, мы получим # ЗНАЧ! Как ошибка.
• Нормальное распределение в Excel — не что иное, как колоколообразная кривая
• Если данные не включают среднее значение и стандартное отклонение, нам необходимо вычислить оба значения, используя функцию Average и STDEV.S соответственно.
• Узнайте больше о колоколообразной кривой, чтобы лучше понять функцию НОРМРАСП в Excel.

Как пользоваться функцией распределения Стьюдента СТЮДРАСПОБР В EXCEL

Функция имеет следующий синтаксис:

• вероятность – обязательный для заполнения, принимает числовое значение вероятности для двустороннего распределения Стьюдента из диапазона от 0 (не включительно) до 1.
• степени_свободы – обязательный для заполнения, принимает числовое значение степеней свободы, которые определяют исследуемое распределение.

1. Если один из аргументов функции указан в виде значения нечислового типа данных, результатом выполнения рассматриваемой функции будет код ошибки #ЗНАЧ!. Логические значения, имена и текстовые строки, преобразуемые в числа, не приводят к возникновению ошибки. Например, функция =СТЮДРАСПОБР(“0,4”;ИСТИНА) вернет значение 1,32638.
2. Если аргумент вероятность задан числом, не находящимся в промежутке от 0 (не включительно) до 1, функция СТЮДРАСПОБР вернет код ошибки #ЧИСЛО!. Аналогичная ошибка возникает, если аргумент степени_свободы задан числом, которое меньше 1.
3. Для расчета односторонней t-величины следует в качестве аргумента вероятность указать значение удвоенной вероятности.

Возвращает двустороннее обратное t-распределения Стьюдента.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х и Функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Нормального распределения имеется функция НОРМ.РАСП() , английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и интегральную функцию распределения (вероятность, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону , примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение N (μ; σ). Так же часто используют обозначение через дисперсию N (μ; σ 2 ).

Примечание : До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция НОРМРАСП() , которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности. НОРМРАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Таблица стандартного нормального распределения в Excel

Пример 1. Найти стандартные нормальные распределения для числовых данных, указанных в таблице.

Вид таблицы данных:

Для расчетов используем следующую формулу:

=НОРМСТРАСП(A2)

A2:A11 – диапазон ячеек, содержащих значения переменной z.

Результат вычислений:

С принципом действия функции мы ознакомились. Теперь ничто нам не мешает составить свою таблицу стандартного распределения в Excel. Для этого построим шаблон таблицы нормального закона и заполним ее ячейки формулой со смешанными ссылками:

=НОРМСТРАСП($A2+B$1)

Таким образом мы самостоятельно составили таблицу стандартного нормального распределения в Excel.

Приближенный метод проверки нормальности распределения

• для всех значений аргумента функция плотности положительна;
• если аргумент стремится к бесконечности, то функция плотности стреится к нулю;
• функция плотности симметрична относительно среднего значения: ;
• наибольшее значение функции плотности — у среднего значения: ;
• кривая функции плотности выпукла в интервале и вогнута на остальной части;
• мода и медиана нормального распределения совпадает со средним значением;
• при нормальном распределении коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны нулю (подробнее рассмотрим это свойство в следующем параграфе о приближенном методе проверки нормальности распределения).

Примечание: О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL.

Вместо заключения

Вопрос: какое распределение имеет значение профит-фактора?

Свои размышления по этому поводу я изложу в следующей статье.

P.S. Если Вы захотите сослатья на нумерованные формулы из этой статьи, то можете использовать такую сслыку: ссылка_на_статью#x_y_z, где (x.y.z)- номер формулы, на которую Вы ссылаетесь.

На какие вопросы отвечает гистограмма распределения?
Гистограмма распределения разбивает по группам значения из набора данных и показывает количество (частоту) чисел в каждой группе. Такую гистограмму также называют графиком распределения частот, поскольку она показывает, с какой частотой представлены значения.

Что такое нормальное распределение?

Если вы неоднократно измеряете величину, которая изменяется более или менее случайным образом, (уровни напряжения шума, фактические значения сопротивления резисторов 47 кОм, результаты тестов в классе, длину травинок на лужайке и т.д.), вероятно, что по мере накопления всё большего количества данных распределение значений будет постепенно напоминать форму, показанную ниже.

Рисунок 1 – Гистограмма, изображающая нормальное или гауссово распределение

Это называется нормальным или гауссовым распределением

Оно похоже на знакомую форму колоколообразной кривой, но здесь важно использовать термины «нормальное» или «гауссово», а не «колоколообразная кривая», потому что и другие типы распределений имеют аналогичную форму. Многочисленные явления, изучаемые в технических, физических и социальных науках, при статистическом анализе дают нормальное распределение

Шаг № 1: Найдите среднее значение.

Как правило, вам с самого начала задаются среднее значение и стандартное отклонение, но если это не так, вы можете легко вычислить эти значения всего за несколько простых шагов. Давайте сначала разберемся со средним.

Поскольку среднее значение указывает среднее значение выборки или совокупности данных, вы можете найти стандартное измерение, используя функцию СРЕДНЕЕ.

Введите следующую формулу в любую пустую ячейку (F1 в этом примере) рядом с вашими фактическими данными (столбцы A а также B), чтобы вычислить среднее значение экзаменационных баллов в наборе данных:

1	= СРЕДНИЙ (B2: B201)

Небольшое примечание: чаще всего вам может потребоваться округлить вывод формулы в большую сторону. Для этого просто оберните его функцией ROUND следующим образом:

1	= ОКРУГЛ (СРЕДНИЙ (B2: B201); 0)

Нормализация функции плотности вероятности.

Все функции плотности вероятности нормализованы, поэтому полная площадь под кривой равна 1.

Это имеет смысл: площадь под всей кривой дает нам вероятность того, что результат случайно выбранного измерения попадет в интервал, соответствующий всей кривой. Поскольку существует 100%-ная вероятность того, что значение будет где-то в этом интервале, результат интегрирования P(x) должен быть равен 1.

Из-за этой нормализации, если мы построим P(x) и гистограмму на одних и тех же осях, они не будут совпадать: P(x) простирается по вертикальной оси только от 0 до 0,08, тогда как гистограмма простирается от 0 до 8000 (поскольку она была создана с использованием 100000 точек данных).

Однако если я умножу P(x) на 100000 и добавлю полученную кривую на диаграмму гистограммы, вы увидите, что функция плотности вероятности Гаусса математически совпадает с измеренным распределением.

Рисунок 3 – Функция плотности вероятности Гаусса, когда мы умножаем P (x) на 100000 и включаем полученную кривую в график гистограммы

Функция НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция НОРМ.РАСП.

Интерпретация функции плотности вероятности

Вычисляя площадь под кривой P(x) в заданном интервале (скажем, от –3 до +3), мы определяем вероятность того, что результат случайно выбранного измерения попадет в этот интервал.

Для практических целей мы можем интерпретировать P(x) как вероятность того, что результат случайно выбранного измерения будет приблизительно равен определенному значению.

Например, предположим, что функция плотности вероятности, показанная выше, соответствует гистограмме, которую мы сгенерировали путем измерения напряжения сигнала датчика (в милливольтах). Все значения были округлены до ближайшего милливольта. Среднее значение составило 0 В, а стандартное отклонение было равно 5 мВ.

Мы рассчитали гауссово значение P(x), используя приведенную выше формулу, и построили график P(x), чтобы получить кривую, которая является непрерывным математическим представлением распределения измеренных напряжений датчика. Теперь мы смотрим на график и видим, что значение 6 мВ соответствует P(x) = 0,04, что указывает на то, что существует 4%-ная вероятность того, что случайно выбранное измерение напряжения даст в результате приблизительно 6 мВ.

Я считаю полезным думать о функции плотности вероятности таким образом, но помните, что эта интерпретация неверна со строго математической точки зрения. Функция плотности вероятности является непрерывной, и, следовательно, вероятность отлична от нуля только в интервале, а не в одном точном значении на горизонтальной оси.

Как проверить выборку на нормальность распределения в excel

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция НОРМ.РАСП.

Синтаксис

Аргументы функции НОРМРАСП описаны ниже.

X Обязательный. Значение, для которого строится распределение.

Среднее Обязательный. Среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл Обязательный. Стандартное отклонение распределения.

Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается весовая функция распределения.

Замечания

Если «standard_dev» не является числом, то возвращается #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если standard_dev ≤ 0, то нормДАТ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Алгоритм функции нормального стандартного распределения чисел в Excel

В новых версиях Microsoft Office была введена более универсальная функция =НОРМ.СТ.РАСП(), содержащая дополнительный аргумент, который принимает два возможных значения:

• ИСТИНА – для получения интегральной функции распределения;
• ЛОЖЬ – для получения весовой функции распределения.

Стандартное нормальное распределение (СНР) – специальная форма распределения, используемая в качестве эталона для оценки данных любого вида. Данный тип распределения по причине неудобства использования формулы общего нормального распределения на практике.

Главные особенности функции:

1. Площадь участка, ограниченного кривой и осью абсцисс принята за 1.
2. Стандартное отклонение считается равным 1.
3. Среднее арифметическое значение принято равным 0.
4. В функцию f(x) общего теоретического нормального распределения введена переменная z (стандартная нормальная).

Переменная z рассчитывается по формуле:

• X – значение некоторой случайной величины;
• µ — среднее значение;
• ó — значение стандартного отклонения.

Смысл переменной z – число стандартных отклонений, на которые отличается значение случайной величины от среднего значения.

Функция НОРМСТРАСП возвращает результат, рассчитанный на основе следующей формулы:

Именно так и выглядит алгоритм вычисления функции НОРМСТРАСП в Excel

Выборочное среднее

Среднее выборки или выборочное среднее (sample average, mean) представляет собой среднее арифметическое всех значений выборки.

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки можно использовать функцию СРЗНАЧ() . В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения выборки.

Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины (см. ниже), т.е. среднего значения исходного распределения, из которого взята выборка.

Примечание: О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL.

• Если к каждому из значений x_i прибавить одну и туже константу с, то среднее арифметическое увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x_i умножить на одну и туже константу с, то среднее арифметическое умножится на такую же константу.

Генерация случайного процесса равномерного и нормального распределения в Excel: Методическое указание к выполнению контрольной работы
2) Так как функция математического ожидания это т оже самое, что и функция среднего арифметического, то: в пустой ячейке вводим «=», далее нажимаем fx, выбираем функцию СРЗНАЧ, выделяем числовые данные нашей исходной таблицы.

Шаг № 12: Добавьте вертикальные линии (необязательно).

В качестве окончательной настройки вы можете добавить на диаграмму вертикальные линии, чтобы подчеркнуть значения SD.

• Выберите график диаграммы (таким образом линии будут вставлены прямо в диаграмму).
• Перейти к Вставлять таб.
• Щелкните значок «Формы» кнопка.
• Выбирать «Линия.”

Удерживайте «СДВИГ» при перетаскивании мыши, чтобы нарисовать идеально вертикальные линии от каждой точки до того места, где каждая линия пересекается с колоколообразной кривой.

Измените заголовок диаграммы, и ваша улучшенная кривая колокола будет готова отображать ваши ценные данные о распределении.

И вот как вы это делаете. Теперь вы можете выбрать любой набор данных и создать колоколообразную кривую нормального распределения, выполнив эти простые шаги!

Описание параметров функции НОРМСТРАСП в Excel

Функция НОРМСТРАСП имеет следующую синтаксическую запись:

z – единственный аргумент, обязательный для заполнения, принимающий числовое значение стандартной нормальной переменной.

1. В качестве аргумента z может быть передано числовое значение, преобразуемый в число текст, логическое значение (например, результат выполнения функции =НОРМСТРАСП(ИСТИНА) будет число 0,841, поскольку данная функция выполняет промежуточное преобразование логического ИСТИНА в число 1), ссылка на ячейку с числовыми данными.
2. Если функция НОРМСТРАСП получила в качестве аргумента текст, не преобразуемый в числовые данные, она вернет код ошибки #ЗНАЧ!.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы. 

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен). 

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Рисунок ниже.

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Число степеней свободы в распределении Стьюдента

Пример 2. Сгенерировать 8 случайных чисел с использованием функции СЛЧИС, для которых распределение Стьюдента имеет 4 степени свободы.

Поскольку вероятность того, что случайна величина примет как отрицательное, так и положительное значение является одинаковой и равна 0,5 (распределение Стьюдента симметрично относительно вертикальной оси графика), используем функцию ЕСЛИ для проверки значений.

Выделим 8 ячеек и запишем следующую функцию (вводить как формулу массива CTRL+SHIFT+Enter):

То есть, если случайное значение вероятности, сгенерированное функцией СЛЧИС меньше 0,5, будет сгенерировано отрицательное t-значение, иначе – положительное.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные	Описание
42	Значение, для которого нужно вычислить распределение
40	Среднее арифметическое распределения
1,5	Стандартное отклонение распределения
Формула	Описание	Результат
=НОРМРАСП(A2;A3;A4;ИСТИНА)	Интегральная функция распределения для приведенных выше условий	0,9087888
=НОРМРАСП(A2;A3;A4;ЛОЖЬ)	Функция плотности распределения для приведенных выше условий	0,10934