Бета распределение в excel

Интуиция за формами

Почему бета-распределение (2,2) будет колокообразным?

Если α-1 — количество успешных исходов и β-1 — количество неудач, Бета(2,2) означает 1 успех и 1 неудачу. Имеет смысл предполагать, что вероятность успеха наиболее высока в 0.5.

Кроме того, Бета(1,1) будет означать, что у вас 0 в голове функции и 0 в хвосте. Тогда предположение о вероятности будет одинаковым на протяжении ; горизонтальная прямая подтверждает это.

Код для создания графиков, показанных выше:

import numpy as npfrom scipy.stats import betaimport matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams =

# Колокообразный

x = np.linspace(0, 1, 10000)y1 = beta.pdf(x, 2, 8)y2 = beta.pdf(x, 5, 5)y3 = beta.pdf(x, 8, 2)

plt.title(“PDF of Beta (Bell-shape)”, fontsize=20)

plt.xlabel(“X”, fontsize=16)plt.ylabel(“Probability Density”, fontsize=16)plt.plot(x, y1, linewidth=3, color=’firebrick’)plt.annotate(“Beta(2,8)”, xy=(0.15, 3.7), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’firebrick’)plt.plot(x, y2, linewidth=3, color=’burlywood’)plt.annotate(“Beta(5,5)”, xy=(0.5, 2.6), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’burlywood’)plt.plot(x, y3, linewidth=3, color=’dodgerblue’)plt.annotate(“Beta(8,2)”, xy=(0.85, 3.7), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’dodgerblue’)plt.ylim()plt.xlim()plt.show()

# Прямые

x = np.linspace(0, 1, 10000)y1 = beta.pdf(x, 1, 2)y2 = beta.pdf(x, 1, 1)y3 = beta.pdf(x, 2, 1)

plt.title(“PDF of Beta (Straight lines)”, fontsize=20)

plt.xlabel(“X”, fontsize=16)plt.ylabel(“Probability Density”, fontsize=16)plt.plot(x, y1, linewidth=3, color=’firebrick’)plt.annotate(“Beta(1,2)”, xy=(0.88, 0.45), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’firebrick’)plt.plot(x, y2, linewidth=3, color=’burlywood’)plt.annotate(“Beta(1,1)”, xy=(0.88, 1.15), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’burlywood’)plt.plot(x, y3, linewidth=3, color=’dodgerblue’)plt.annotate(“Beta(2,1)”, xy=(0.88, 2.0), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’dodgerblue’)plt.ylim()plt.xlim()plt.show()

# U-образные

x = np.linspace(0, 1, 10000)y1 = beta.pdf(x, 0.2, 0.8)y2 = beta.pdf(x, 0.5, 0.5)y3 = beta.pdf(x, 0.8, 0.2)

plt.title(“PDF of Beta (U-shape)”, fontsize=20)

plt.xlabel(“X”, fontsize=16)plt.ylabel(“Probability Density”, fontsize=16)plt.plot(x, y1, linewidth=3, color=’firebrick’)plt.annotate(“Beta(0.2,0.8)”, xy=(0.85, 0.45), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’firebrick’)plt.plot(x, y2, linewidth=3, color=’burlywood’)plt.annotate(“Beta(0.5,0.5)”, xy=(0.5, 0.88), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’burlywood’)plt.plot(x, y3, linewidth=3, color=’dodgerblue’)plt.annotate(“Beta(0.8,0.2)”, xy=(0.15, 0.45), size = 14, ha=’center’, va=’center’, color=’dodgerblue’)plt.ylim()plt.xlim()plt.show()

Когда я изучала бета-распределение в университете, я выводила его из порядковой статистики. Хоть порядковая статистика и не самое распространенное применение бета-распределения, но она помогла мне глубже и лучше его понять.

Пусть X_1, X_2, . . . , X_n — независимые и одинаково распределенные случайные переменные с плотностью вероятности f и распределением вероятности F.

Мы расположим их по возрастанию так, чтобы X_k был k-ым наименьшим X, называемым k-ой порядковой статистикой.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .

Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).

Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:

Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):

• Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$: =БИНОМ.РАСП(k;n;p;0) $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^$$
• Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз: =БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0) $$P_n(k_1le X le k_2)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не более $k_3$ раз: =БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1) $$P_n(0le X le k_3)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет не менее $k_4$ раз: =1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0) $$P_n(k_4le X le n)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
• Событие произойдет хотя бы один раз: =1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0) $$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^$$
• Наивероятнейшее число наступлений события $m$: =ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0) $$np-q le m le np+p$$

Вы видите, что в задачах, где нужно складывать несколько вероятностей, мы уже используем функцию вида =БИНОМ.РАСП(k;n;p;1) — так называемая интегральная функция вероятности, которая дает сумму всех вероятностей от 0 до $k$ включительно.

Анализ

Бета-коэффициент равный 1 предполагает, что акция имеет такой же риск, что и общий рынок, и доходность акции будет сопоставима с доходностью рынка. Коэффициент ниже единицы указывает на пониженный риск и более низкую потенциальную доходность относительно рынка . С другой стороны , β выше 1 , более высокий риск инвестирования в данную акцию .

В 2017 году акция Chevron (тикер CVX) имела бета коэффициент 1.17. Это свидетельствует о том, что акция компании немного более рискованна, чем индекс акций S&P 50 . Marathon Oil (тикер на бирже NYSE: MRO), с другой стороны, имеет β в размере 3.02 . Можно заключить, что эта акция более рискованная, чем рынок в целом.

Генерация случайных чисел и оценка параметров

Используя обратную функцию распределения (или значения квантилей ( p — quantile ) , см. статью про Квантили ) можно сгенерировать значения случайной величины, имеющей Бета-распределение . Для этого нужно использовать формулу:

=БЕТА.ОБР(СЛЧИС(); альфа; бета; А; B)

СОВЕТ : Т.к. генерирование случайных чисел происходит с помощью функции СЛЧИС() , то нажимая клавишу F9 , можно каждый раз получать новую выборку и, соответственно, новую оценку параметров.

Функция СЛЧИС() генерирует непрерывное равномерное распределение от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Теперь имея массив случайных чисел, сгенерированных с заданными параметрами распределения альфа и бета (пусть их будет 200), оценим параметры распределения.

Оценку параметров альфа и бета можно сделать с помощью метода моментов (предполагается, что параметры А и В известны):

Чтобы визуально убедиться, что выборка взята из Бета-распределения , в файле примера на листе Генерация построен соответствующий Вероятностный график (probability plot) .

Т.к. форма Бета-распределения существенно зависит от его параметров, то для модификации оси Y вероятностного графика лучше использовать обратную функцию Бета-распределения с параметрами альфа и бета равными их точечным оценкам, полученным на основании выборки .

Примечание : При построении диаграммы использован тип график с маркерами . Подробнее о построении диаграмм см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL .

Примечание : В файле примера на листе Задача приведено решение задачи об определении вероятности завершить строительство в указанный срок.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Функция БЕТАРАСП используется для вычисления распределения вероятностей в соответствии с бета-распределением, в котором бета-распределение используется для изучения вариации выборок в процентах.

Синтаксис: БЕТАРАСП (x; альфа; бета; A, B).

— x: значение между двумя значениями A и B — это значение, используемое для определения значения функции.

— alpha: параметр распределения, является обязательным значением.

— beta: как параметр распределения.

— A: В качестве нижней границы диапазона x значение по умолчанию равно 0.

— B: верхняя граница диапазона x, значение по умолчанию — 1.

— Если пропустить 2 параметра A и B, функция будет использовать нормализованное кумулятивное бета-распределение с A = 0 и B = 1.

Рассчитайте значение распределения вероятности в соответствии с бета-распределением со значениями параметров в следующей таблице:

Шаг 1. В ячейке для вычисления введите формулу = БЕТАРАСП (C6, C7, C8, C9, C10).

Шаг 2: Нажмите Введите значение функции БЕТАРАСП, чтобы:

Выше показано, как использовать функцию БЕТАРАСП, и некоторые примечания при ее использовании.

Бета-распределение — это распределение вероятностей по вероятностям. Мы можем использовать его для моделирования вероятностей: рейтинг кликов вашей рекламы, коэффициент конверсии клиентов, фактически купивших что-то на вашем сайте, насколько вероятно, что посетители поставят лайки в вашем блоге, насколько вероятно избрание Трампа на второй срок, 5-летний прогноз выживания женщин с раком груди и так далее.

Так как бета-распределение моделирует вероятность, его область определения ограничена 0 и 1.

Бета-плотность

Для построения графика бета-плотности, как мы знаем, она будет лежать в диапазоне (0,1). Мы используем одну функцию dbeta и plot на графике.

Пример 1: здесь мы можем наблюдать этот график для бета-плотности (1,1), где мы можем наблюдать равномерное распределение между 0 и 1.

Выход:

Пример 2: Здесь мы можем наблюдать график для бета-плотности (2,1), где мы можем наблюдать линейно возрастающую функцию . На приведенном выше графике мы видим, что точки с большей вероятностью будут близки к 1, чем к 0, и они растут. пропорциональным образом. Если мы просто изменим график с (2,1) на (1,2), мы увидим, что точки с большей вероятностью будут близки к 0, чем к 1.

Выход:

Пример 3: здесь мы можем наблюдать этот график для бета-плотности (2,2), где мы можем наблюдать значения квадратичной функции между почти 0 и 1, но, скорее всего, имеют значение около 1/2.

Выход:

Совокупные распределительные функции

Вы можете обратиться к этой ссылке о функциях Beta Distribution Functions.

Здесь, в нашем случае, данные, которые у нас есть, показывают среднее значение, которое может принимать любые числовые значения от 0 до 1, как вы можете видеть, 0,1 являются параметрами в последовательности в строке № 3 в приведенном выше коде, поэтому с помощью бета-распределения мы изображают ограниченное непрерывное распределение со значениями от 0 до 1 и в первую очередь моделируют неопределенность вероятности успеха случайного эксперимента, которая в нашем случае представляет собой вероятность того, что вероятности имеют определенное среднее значение.

Из-за этого его часто используют в задачах неопределенности, связанных с пропорциями, частотой или процентами.

Выход:

Распределение Гаусса

Нормальное распределение получило своё название абсолютно справедливо: по статистике, большинство событий происходят именно с вероятностью нормального распределения, но что это значит? Это означает, например, что когда Вы видите на упаковке хлеба обозначение “Вес: 400±16г” – вес батона имеет нормальное распределение со средним значением 400г и стандартным отклонением 16г.

Таблица нормального распределения

Таблица нормального распределения – это затабулированные значения функции нормального распределения.

Для нахождения вероятности события Z можно воспользоваться таблицей нормального распределения ниже. На пересечении строк (n) и столбцов (m) находится значение вероятности n+m.

Z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
Таблица нормального распределения. Красным выделены часто используемые значения при выборе критической области
0.500	0.504	0.508	0.512	0.516	0.520	0.524	0.528	0.532	0.536
0.1	0.540	0.544	0.548	0.552	0.556	0.560	0.564	0.568	0.571	0.575
0.2	0.579	0.583	0.587	0.591	0.595	0.599	0.603	0.606	0.610	0.614
0.3	0.618	0.622	0.625	0.629	0.633	0.637	0.641	0.644	0.648	0.652
0.4	0.655	0.659	0.663	0.666	0.670	0.674	0.677	0.681	0.684	0.688
0.5	0.692	0.695	0.699	0.702	0.705	0.709	0.712	0.716	0.719	0.722
0.6	0.726	0.729	0.732	0.736	0.739	0.742	0.745	0.749	0.752	0.755
0.7	0.758	0.761	0.764	0.767	0.770	0.773	0.776	0.779	0.782	0.785
0.8	0.788	0.791	0.794	0.797	0.799	0.802	0.805	0.808	0.811	0.813
0.9	0.816	0.819	0.821	0.824	0.826	0.829	0.832	0.834	0.837	0.839
1	0.841	0.844	0.846	0.849	0.851	0.853	0.855	0.858	0.860	0.862
1.1	0.864	0.867	0.869	0.871	0.873	0.875	0.877	0.879	0.881	0.883
1.2	0.885	0.887	0.889	0.891	0.892	0.894	0.896	0.898	0.900	0.901
1.3	0.903	0.905	0.907	0.908	0.910	0.911	0.913	0.915	0.916	0.918
1.4	0.919	0.921	0.922	0.924	0.925	0.926	0.928	0.929	0.931	0.932
1.5	0.933	0.934	0.936	0.937	0.938	0.939	0.941	0.942	0.943	0.944
1.6	0.945	0.946	0.947	0.948	0.950	0.951	0.952	0.953	0.954	0.955
1.7	0.955	0.956	0.957	0.958	0.959	0.960	0.961	0.962	0.963	0.963
1.8	0.964	0.965	0.966	0.966	0.967	0.968	0.969	0.969	0.970	0.971
1.9	0.971	0.972	0.973	0.973	0.974	0.974	0.975	0.976	0.976	0.977
2	0.977	0.978	0.978	0.979	0.979	0.980	0.980	0.981	0.981	0.982
2.1	0.982	0.983	0.983	0.983	0.984	0.984	0.985	0.985	0.985	0.986
2.2	0.986	0.986	0.987	0.987	0.988	0.988	0.988	0.988	0.989	0.989
2.3	0.989	0.990	0.990	0.990	0.990	0.991	0.991	0.991	0.991	0.992
2.4	0.992	0.992	0.992	0.993	0.993	0.993	0.993	0.993	0.993	0.994
2.5	0.994	0.994	0.994	0.994	0.995	0.995	0.995	0.995	0.995	0.995
2.6	0.995	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996	0.996
2.7	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997	0.997
2.8	0.997	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998
2.9	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.998	0.999	0.999	0.999	0.999
3	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999
3.1	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999
3.2	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	0.999	1.000

Приближенный метод проверки нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на
следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии
и коэффициент эксцесса равны нулю.

Коэффициент асимметрии
численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент
асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны:
и кривая плотности
распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля (),
то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды
() и кривая сдвинута
вправо (по сравнению с нормальным распределением). Если коэффициент асимметрии больше нуля (),
то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды
() и кривая сдвинута
влево (по сравнению с нормальным распределением).

Коэффициент эксцесса
характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении
оси и степень островершинности кривой плотности распределения.
Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением)
вдоль оси (график более островершинный). Если коэффициент
эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением)
вдоль оси (график более туповершинный).

Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы
проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке
одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса
равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты
эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с
приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному,
неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они
должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит — достаточно?

Требуется сравнить полученные эмпирические значения с
допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов
по модулю с критическими значениями — границами области проверки гипотезы).

Для коэффициента асимметрии :

,

где

—
квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

—
среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений .

Для коэффициента эксцесса :

,

где

—
квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

—
среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений .

Так как коэффициенты асимметрии и эксцесса могут оказаться и положительными, и отрицательными,
то в приближенном методе проверки нормальности распределения используется двусторонний квантиль
стандартного нормального распределения; он задаёт интервал, в который случайная величина попадает
с определённой вероятностью. Приведём значения двусторонних квантилей стандартного нормального
распределения определённых уровней
(слева — уровень, справа — значение квантиля):

• 0,90: 1,645
• 0,95: 1,960
• 0,975: 2,241
• 0,98: 2,326
• 0,99: 2,576
• 0,995: 2,807
• 0,999: 3,291
• 0,9995: 3,481
• 0,9999: 3,891

Например, для выборки с числом наблюдений и
,
пользуясь этими значениями и ранее приведёнными формулами, можно получить границу области принятия гипотезы для
коэффициента асимметрии 0,62 и для коэффициента эксцесса 1,15. Поэтому приведённые ранее примеры эмпирических
значений коэффициента асимметрии -0,14, 0,22, 0,43 попадают в область принятия гипотезы. То же самое
относится к значениям коэффициента эксцесса 0,17, -0,31, 0,55. Следовательно, если получены такие
эмпирические значения, то с вероятностью 95% данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.

Нормальное распределение. Построение графика в Excel. Концепция шести сигм

Наверное, не все знают, что в Excel есть встроенная функция для построения нормального распределения. Графики нормального распределения часто используются для демонстрации идей статистической обработки данных.

Функция НОРМРАСП имеет следующий синтаксис:

НОРМРАСП (Х; среднее; стандартное_откл; интегральная)

Х — аргумент функции; фактически НОРМРАСП можно трактовать как y=f(x); при этом функция возвращает вероятность реализации события Х

Среднее (µ) — среднее арифметическое распределения; чем дальше Х от среднего, тем ниже вероятность реализации такого события

Стандартное_откл (σ) — стандартное отклонение распределения; мера кучности; чем меньше σ, тем выше вероятность у тех Х, которые расположены ближе к среднему

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения, тот есть суммарную вероятность всех событий для аргументов от -∞ до Х; если «интегральная» имеет значение ЛОЖЬ, возвращается вероятность реализации события Х, точнее говоря, вероятность событий находящихся в некотором диапазоне вокруг Х

Например, для µ=0 имеем:

Скачать заметку в формате Word, пример в формате Excel

Здесь по оси абсцисс единица измерения – σ, или (что то же самое), можно сказать, что график построен для σ = 1. То есть, «-2» на графике означает -2σ. По оси ординат шкала убрана умышленно, так как она лишена смысла. Точнее говоря, высота кривой зависит от плотности точек на оси абсцисс, по которым мы строим график. Например, если на интервал от 0 до 1σ приходится 10 точек, то высота в максимуме составит 4%, а если 20 точек – 2%. Здесь проценты означают вероятность попадания случайной величины в узкий диапазон окрестности точки на оси абсцисс. Зато имеет смысл площадь под кривой на определенном интервале. И эта площадь не зависит от плотности точек. Так, например, площадь под кривой на интервале от 0 до 1σ составляет 34,13%. Это значение можно интерпретировать следующим образом: с вероятностью 68,26% случайная величина Х попадет в диапазон µ ± σ.

Теперь, наверное, вам будет лучше понятен смысл выражения «качество шести сигм». Оно означает, что производство налажено таким образом, что случайная величина Х (например, диаметр вала) находясь в диапазон µ ± 6σ, всё еще удовлетворяет техническим условиям (допускам). Это достигается за счет значительного уменьшения сигмы, то есть случайная величина Х очень близка к нормативному значению µ. На графике ниже представлено три ситуации, когда границы допуска остаются неизменными, а благодаря повышению качества (уменьшению вариабельности, сужению сигма) доля брака сокращается:

На первом рисунке только 1,5σ попадают в границы допуска, то есть только 86,6% деталей являются годными. На втором рисунке уже 3σ попадают в границы допуска, то есть 99,75% являются годными. Но всё еще 25 деталей из каждых 10 000 произведенных являются браком. На третьем рисунке целых 6σ попадают в границы допуска, то есть в брак попадут только две детали на миллиард изготовленных!

Вообще-то говоря, измерение качества в терминах сигм использует не совсем нормальное распределение. Вот что пишет на эту тему Википедия:

Опыт показывает, что показатели процессов имеют тенденцию изменяться с течением времени. В результате со временем в промежуток между границами поля допуска будет входить меньше, чем было установлено первоначально. Опытным путём было установлено, что изменение параметров во времени можно учесть с помощью смещения в 1,5 сигма. Другими словами, с течением времени длина промежутка между границами поля допуска под кривой нормального распределения уменьшается до 4,5 сигма вследствие того, что среднее процесса с течением времени смещается и/или среднеквадратическое отклонение увеличивается.

Широко распространённое представление о «процессе шесть сигма» заключается в том, что такой процесс позволяет получить уровень качества 3,4 дефектных единиц на миллион готовых изделий при условии, что длина под кривой слева или справа от среднего будет соответствовать 4,5 сигма (без учёта левого или правого конца кривой за границей поля допуска). Таким образом, уровень качества 3,4 дефектных единиц на миллион готовых изделий соответствует длине промежутка 4,5 сигма, получаемых разницей между 6 сигма и сдвигом в 1,5 сигма, которое было введено, чтобы учесть изменение показателей с течением времени. Такая поправка создана для того, чтобы предупредить неправильною оценку уровня дефектности, встречающееся в реальных условиях.

С моей точки зрения, не вполне внятное объяснение. Тем не менее, во всем мире принята следующая таблица соответствия числа дефектов и уровня качества в сигмах:

Примеры дискретных распределений

Константа. Да, это тоже случайная величина в теории вероятностей. Случайная величина X называется константой, если она принимает лишь одно значение c ∈ R с вероятностью 1

Распределение Бернулли, p ∈

Самое простое распределение. То самое подбрасывание монетки, где у нас есть всего два исхода (то, что монетка может упасть ребром, мы не рассматриваем). Обозначается Ber(p). Имеет параметр p ∈ , где p — вероятность успеха.

Случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметром p ∈ , если X принимает значение 1 с вероятностью p и значение с вероятностью 1 − p. Параметр p называется вероятностью успеха

Таблица распределения:

Пишется как: X ∼ Ber(0.5) — это как раз про монетку, X ∼ Ber(1).

Примеры распределения Бернулли в реальной жизни: пол сотрудника, победа спортивной команды, бумага в общественном туалете (либо она есть, либо её нет).

Равномерное распределение на конечном множестве

Случайная величина X имеет равномерное распределение на множестве {a1, a2, . . . , an}, если X принимает каждое значение a_i с вероятностью 1/n. Т.е. конечное количество исходов, где каждый из них принимается с одинаковой вероятностью. Таблица распределения имеет следующий вид:

Примеры равномерного распределения в реальной жизни: игральная кость, рулетка

Биномиальное распределение Bin(n, p), n ∈ N, p ∈

Здесь у нас уже два параметра. Случайная величина Y имеет биномиальное распределение с параметрами n ∈ N и p ∈ , если Y = X1 + X2 + . . . + Xn, где X1, X2, . . . , Xn ∼ Ber(p) независимые, т.е. сумма независимых случайных величин с равностью успеха p (с одной и той же вероятностью успеха). Фактически, Y — это количество «успехов» в n независимых испытания Бернулли, от нуля до n

Распределение Пуассона Pois(λ), λ > 0

Параметр лямбда (λ) — это интенсивность (число больше нуля). Чем больше значение λ, тем будет больше вероятность успеха за фиксированный временной интервал (характеризует интенсивность процесса, как часто встречаются успехи в нём)

Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ > 0, если X принимает значения k = 0, 1, 2, . . . с вероятностями:

k! — факториал числа k (произведение всех натуральных чисел от 1 до k включительно)

Является предельным распределением для Bin(n, p) при p → 0, np → λ. Параметр p зависит от n. При n стремящемся к бесконечности (n -> ∞), р будет стремиться к нулю (p -> 0), но при этом np ->  λ. Например, у нас есть игра «Морской бой»

Где n- количество ходов (снарядов), а m — количество блоков. Вероятность попасть в один блок (p) будет равна 1/m. Получается биноминальное распределение с такими параметрами можно попытаться аппроксимировать с помощью распределения Пуассона

Примеры распределения Пуассона в реальной жизни: По сути, это будет количество событий, которые произошли за какой-либо временной промежуток, например: количество звонков в call-центре за час, количество рожденных детей за год

Небольшая задачка

На пустынном шоссе вероятность появления автомобиля за30-минутный период составляет 0.95. Какова вероятность его появленияза 10 минут? 

Решить её в лоб не получится, т.к.0.95 нельзя просто поделить на три — вероятность встретить автомобиль даже в случае 30 минут не равна единице, но при этом, мы можем встретить не один автомобиль, а два. Или даже три — есть множество комбинаций вероятностей.

Данная задача часто встречается на собеседованиях и интервьюеров больше интересуют ваши рассуждения о процессе решения, будете ли вы усложнять или упрощать решение.

Что сюда можно прикрутить? Условия задачи отлично подходят для распределения Бернулли. Мы можем разделить отрезок 30 минут на три равных, по 10 минут. У каждого отрезка есть случайная величина. Каждая X_i — это бернуллиевская случайная величина с вероятностью наступления успеха p

Вспоминаем таблицу распределения:

Задача сводится к том, что нам нужно найти вероятность успеха р. Получается, что нашу вероятность можно записать так:

P (X_i =1 хотя бы для одного i = 1,2,3) = 0.95

Вероятность того, что мы встретим хотя бы один автомобиль равна единице. НО! Если в событие встроено условие «хотя бы один», будет правильным перейти к дополнительному событию. Здесь мы перемножаем вероятность для x_i = 0, которая равняется 1-p.

1 − P(все X_i = 0 для всех i=1,2,3) или же 1- (1-p)3

Таким образом мы получаем:

1- (1-p)3 = 0.95

В итоге, чтобы посчитать вероятность события (р), нам нужно привести формулу к такому виду:

p = 1 − 3√ 1 − 0.95

Кубический корень из 0,05 ≈ 0.37, соответственно, 1 — 0,37 = 0,67

Бета-распределение очень гибкое

Плотность вероятности бета-распределения может быть U-образной формы с асимптотическими концами, колоколообразным, строго возрастающим или убывающим или даже просто линией. Вы изменяете значения α или β — форма распределения тоже меняется.

a. Колокообразное

Обратите внимание, что график плотности вероятности с α = 8 и β = 2 голубой, не красный. Ось x — это вероятность успешного исхода

Плотность вероятности бета-распределения приблизительно нормальная, если α +β достаточно велико, а α и β приблизительно одинаковы.

b. Прямые

Бета-распределение плотности вероятности может быть и прямой линией!

c. U-образная форма

Когда α <1, β<1, плотность вероятности бета-распределения принимает U-образную форму.

Шаг № 3: Установите значения оси X для кривой.

По сути, диаграмма представляет собой огромное количество интервалов (представьте их как шаги), соединенных линией, чтобы создать плавную кривую.

В нашем случае значения оси X будут использоваться для иллюстрации конкретной оценки экзамена, а значения оси Y будут указывать нам вероятность того, что студент получит этот результат на экзамене.

Технически вы можете включить столько интервалов, сколько захотите — вы можете легко стереть избыточные данные позже, изменив масштаб горизонтальной оси. Просто убедитесь, что вы выбрали диапазон, включающий три стандартных отклонения.

Давайте начнем подсчет с одного (так как студент не может получить отрицательный результат на экзамене) и дойдем до 150 — неважно, 150 это или 1500 — чтобы создать еще одну вспомогательную таблицу

1. Выберите любую пустую ячейку под данными диаграммы (например, E4) и введите “1,” значение, определяющее первый интервал.
2. Перейдите к Дом таб.
3. в Редактирование группа, выберите «Наполнять.”
4. Под «Серия в,» Выбрать «Столбец.”
5. Для «Значение шага,» тип “1.” Это значение определяет приращения, которые будут автоматически добавляться, пока Excel не достигнет последнего интервала.
6. Для «Стоп-значение,» тип «150,” значение, которое соответствует последнему интервалу, и нажмите «OK.”

Чудом 149 ячеек в столбце E (E5: E153) были заполнены значениями от 2 до 150.

ПРИМЕЧАНИЕ. Не скрывайте исходные ячейки данных, как показано на снимках экрана.. В противном случае методика не сработает.

Почему плотность вероятности бета-распределения выглядит именно так?

Фрагмент из Википедии

Интуитивное определение

Давайте на минутку проигнорируем коэффициент 1/B(α,β) и рассмотрим толькочислитель x^(α-1) * (1-x)^(β-1), потому что 1/B(α,β) — просто нормализирующая постоянная для того, чтобы функция интегрировалась к 1. 

Тогда выражения в числителе — x в некоторой степени, умноженное на 1-x в некоторой степени — выглядят знакомо.

Мы видели это раньше?? Да! Это биномиальное распределение

Интуиция бета-распределения вступает в игру, когда мы рассматриваем ее через призму биномиального распределения. 

X ~ биномиальное (n, p) vs. X ~ Бета (α, β)

Разница между биномиальным и бета-распределением в том, что первое моделирует число событий (x), а второе моделирует вероятность (p) как таковую. 

Другими словами, вероятность —  параметр в биномиальном распределении, а в бета—случайная переменная. 

Интерпретация α, β

Примем α-1 за количество успешных исходов и β-1 за количество неудач, совсем как n и n-x в биномиальном распределении. 

Параметры α и β могут быть какими угодно. Если вы думаете, что вероятность успеха очень велика, скажем, 90%, задайте значение 90 для α и 10 для β. Или наоборот, 90 для β и 10 для α.

Когда α становится больше (больше успешных событий), выпуклость функции смещается вправо, в то время как увеличение β сдвигает распределение влево (больше неудач). 

Кроме того, распределение будет сужаться с одновременным увеличением α и β. 

Пример: вероятность вероятности 

Скажем, насколько вероятно, что кто-то согласится пойти с вами на свидание, следуя бета-распределению с α = 2 и β = 8. Какова вероятность того, что коэффициент успеха будет более 50%?

P(X>0.5) = 1- функция распределения(0.5) = 0.01953

Сожалею, вероятность очень низкая ?

Доктор Богнар из Университета Айовы написал полезный и красивый калькулятор для бета-распределения. Поэкспериментируйте со значениями α и β и посмотрите, как меняется форма. 

Модификация коэффициента бета

Так как коэффициент, предложенный У. Шарпов не имел должной устойчивости и не мог использоваться для прогнозирования будущей доходности в модели CAPM, различными учеными были предложены модификации и корректировки данного показателя (англ. adjusted beta, modified beta).Рассмотрим скорректированные коэффициенты бета:

Модификация коэффициента бета от М.Блюма (1971)

Маршал Блюм показал, что со временем коэффициенты бета компаний стремятся к 1. Формула расчета скорректированного показателя следующая:

Использование данных весовых значений позволяет более точно спрогнозировать будущий систематический риск. Так данную модификацию используют многие информационные агентства, такие как: Bloomberg, Value Line и Merrill Lynch.

Модификация коэффициента бета от Бава-Линдсберга (1977)

В своей корректировке Линдсберг предложил рассчитывать односторонний коэффициент бета. Главный постулат заключался в том, что изменение доходности выше определенного уровня большинство инвесторов не рассматривают как риск, а риском считается только то, что ниже уровня. За минимальный уровень риска в данной модели был доходность безрискового актива.

где:

r_i – доходность акции; r_m – доходность рынка; r_f – доходность безрискового актива.

Модификация коэффициента бета от Шоулза-Виллимса

β_-1, β, β₁ – коэффициенты беты для предыдущего (-1) текущего и следующего (1) периода;

ρ_m – коэффициент автокорреляции рыночной доходности.

Модификация коэффициента бета от Харлоу-Рао (1989)

Формула отражает одностороннюю бету, с предположением, что инвесторы рассматривают риск только как отклонение от среднерыночной доходности вниз. В отличие от модели Бава-Линдсберга за минимальный уровень риска брался уровень среднерыночной доходности.

где: μ_i – средняя доходность акции; μ_m – средняя доходность рынка;

Помимо коэффициента бета на практике используют другие показатели риска-доходности инвестиционного портфеля, ПИФа, более подробно узнать про современные показатели оценки инвестиций вы можете в моей статье: «Оценка эффективности инвестиций, инвестиционного портфеля, акций на примере в Excel«. О практике оценке риска инвестиции читайте в статье: «Методы оценки риска VaR (Value at Risk). Рыночный риск. Пример расчета в Excel «.

Шаг № 12: Добавьте вертикальные линии (необязательно).

В качестве окончательной настройки вы можете добавить на диаграмму вертикальные линии, чтобы подчеркнуть значения SD.

• Выберите график диаграммы (таким образом линии будут вставлены прямо в диаграмму).
• Перейти к Вставлять таб.
• Щелкните значок «Формы» кнопка.
• Выбирать «Линия.”

Удерживайте «СДВИГ» при перетаскивании мыши, чтобы нарисовать идеально вертикальные линии от каждой точки до того места, где каждая линия пересекается с колоколообразной кривой.

Измените заголовок диаграммы, и ваша улучшенная кривая колокола будет готова отображать ваши ценные данные о распределении.

И вот как вы это делаете. Теперь вы можете выбрать любой набор данных и создать колоколообразную кривую нормального распределения, выполнив эти простые шаги!