Эйлеровы интегралы

Содержание

• 1 Определение
• 2Свойства
  • 2.1 Продолжение до комплексных значений
    • 2.1.1 Неполная нижняя гамма-функция
      • 2.1.1.1 Голоморфное расширение
      • 2.1.1.2 Многозначность
        • 2.1.1.2.1 Секторы
        • 2.1.1.2.2 Ветви
        • 2.1.1.2.3 Связь между ветвями
      • 2.1.1.3 Поведение вблизи точки ветвления
      • 2.1.1.4 Алгебраические отношения
      • 2.1. 1.5 Интегральное представление
      • 2.1.1.6 Предел для z → + ∞
        • 2.1.1.6.1 Действующие значения
        • 2.1.1.6.2 s комплексный
        • 2.1.1.6.3 Секторальная сходимость
      • 2.1. 1.7 Обзор
    • 2.1.2 Верхняя неполная гамма-функция
  • 2.2 Специальные значения
  • 2.3 Асимптотическое поведение
• 3 Формулы оценки
  • 3.1 Связь с конфлюэнтной гипергеометрической функцией Куммера
  • 3.2 Теорема умножения
  • 3.3 Программная реализация
• 4 Регуляризованные гамма-функции и случайные величины Пуассона
• 5 Производные
• 6 Неопределенные и гибрид интегралы
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Характеристики

Связь с факториалом

Из Γ ( z +1) = z Γ ( z ) и получаем:

∀нет∈НЕТ,Γ(нет+1)знак равнонет!{\ Displaystyle \ forall \, п \ in \ mathbb {N}, \; \ Gamma (n + 1) = n!}.

Поэтому мы интерпретируем гамма-функцию как расширение факториала до набора комплексных чисел (за исключением отрицательных или нулевых целых чисел).

Альтернативное обозначение — функция Π , введенная Гауссом  :

Π(z)знак равноΓ(z+1)знак равноzΓ(z){\ Displaystyle \ Pi (z) = \ Gamma (z + 1) = z \; \ Gamma (z)}(и, следовательно ),Γ(z)знак равноΠ(z-1)знак равноΠ(z)z{\ Displaystyle \ Гамма (г) = \ Пи (г-1) = \ Пи (г) / г}

Таким образом, что :

Π(нет)знак равнонет!{\ Displaystyle \ Pi (п) = п!}.

На множестве реалов

Гамма-функция полностью характеризуется следующими тремя свойствами ( теорема Бора-Моллерупа ):
р+*{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

• Γ(1)знак равно1{\ Displaystyle \ Гамма (1) = 1 \,}
• Для всего у нас есть:Икс>{\ Displaystyle х> 0 \,}Γ(Икс+1)знак равноИксΓ(Икс){\ Displaystyle \ Гамма (х + 1) = х \; \ Гамма (х) \,}
• составная функция выпукла напер∘Γ{\ Displaystyle \ ln \ circ \, \ Gamma}р+*{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}
  

На комплексной полуплоскости Re ( z )> 0

Гамма-функция среди голоморфных функций комплексной полуплоскости Re ( z )> 0 полностью характеризуется следующими тремя свойствами ( теорема Виландта ):

• Γ(1)знак равно1{\ Displaystyle \ Гамма (1) = 1 \,}
• Для всех z таких, что Re ( z )> 0 ,Γ(z+1)знак равноzΓ(z){\ Displaystyle \ Гамма (г + 1) = г \; \ Гамма (г) \,}
• |Γ(z)|{\ Displaystyle | \ Гамма (г) | \,}ограничена в полосе 1 ≤ Re ( z ) ≤ 2.

CEIL, FIX, FLOOR, ROUND — функции округления

Синтаксис:

 Y = ceil(X) Y = fix(X) Y = floor(X) Y = round(X)

Описание:

Для массивов действительных чисел X:

• функция Y = ceil(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого >=X;
• функция Y = fix(X) возвращает значения с усечением дробной части числа;
• функция Y = floor(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого<= X;
• функция Y = round(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого.

Для массивов комплексных чисел Z эти функции применяются одновременно к действительной и мнимой частям.

Примеры:

Задан одномерный массив действительных чисел

 x = ;

ceil(x)	ans = -1 0 4 6 7		fix(x)	ans = -1 0 3 5 7
floor(x)	ans = -2 -1 3 5 7		round(x)	ans = -2 0 3 6 7

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Значение, для которого требуется вычислить распределение

Параметр распределения альфа

Параметр распределения бета

Плотность вероятности при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ЛОЖЬ.

Интегральное распределение при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ИСТИНА.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Значение, для которого требуется вычислить распределение

Параметр распределения альфа

Параметр распределения бета

Плотность вероятности при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ЛОЖЬ.

Интегральное распределение при использовании значений x, альфа и бета в ячейках A2, A3, A4 с интегральным аргументом ИСТИНА.

Функция ГАММА в Excel используется для расчета значения, которое принимает гамма-функция для некоторого числа r, и возвращает соответствующее числовое значение.

Гамма-функция имеет следующий вид:

Здесь r является некоторым положительным числом, отличным от нуля.

доказательство дисперсии гамма-распределения

Как мы знаем, дисперсия — это разница ожидаемых значений как

для гамма-распределения у нас уже есть значение среднего

теперь сначала давайте вычислим значение E , поэтому по определению математического ожидания для непрерывной случайной величины имеемпоскольку функция f (x) является функцией распределения вероятностей гамма-распределения как

поэтому интеграл будет только от нуля до бесконечности

поэтому по определению гамма-функции мы можем написать

Таким образом, используя свойство гамма-функции, мы получили значение как

Теперь поместим ценность этих ожиданий в

таким образом, значение дисперсии гамма-распределения или гамма-случайной величины равно

Замечания

Если x, alpha или beta не является числом, функция ГАММАРАСП возвращает #VALUE! (значение ошибки).

Если альфа ≤ 0 или бета-версия ≤ 0, функция ГАММАРАСП возвращает #NUM! (значение ошибки).

Уравнение для гамма-функции плотности распределения вероятности имеет следующий вид:

Стандартная гамма-функция плотности распределения вероятности имеет следующий вид:

Если альфа = 1, функция ГАММАРАСП возвращает экспоненциальное распределение:

Для целого положительного n, если альфа = n/2, бета = 2 и значение «интегральная» = ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает (1 — ХИ2РАСП(x)) с n степенями свободы.

Если значение аргумента «альфа» является положительным числом, функция ГАММАРАСП называется также распределением Эрланга.

Все в числе «Пи»

Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков.

Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер?.. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.

Основы регрессионного и корреляционного анализа

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств.
При этом фиксировалось число продаж yi.Задание. По этим выборкам найти уравнение линейной регрессии = ax + b. Найти коэффициент парной корреляции. Проверить на уровне значимости                ? = 0,05 регрессионную модель на адекватность.

Расходы на рекламу хi, млн. руб.	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5
Объем продаж уi	25,3	28,8	30,1	30	32,5	31,4	32	36,4	35,6	36,9

Решение:
Используем инструмент «Регрессия» пакета «Анализ данных» MS Excel.
Таблица 8.1
Результаты регрессионного моделирования

Регрессионная статистика
Множественный R	0,948
R-квадрат	0,899
Нормированный R-квадрат	0,887
Стандартная ошибка	1,226
Наблюдения	10
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значи—мость F
Регрессия	1	107,56	107,56	71,58	0,00003
Остаток	8	12,02	1,50
Итого	9	119,58
	Коэффи—циенты	Стандарт—ная ошибка	t-статис—тика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	26,76	0,72	37,14	0,00000000	25,10	28,42
Переменная X 1	2,28	0,27	8,46	0,00002912	1,66	2,91

Коэффициент b – это коэффициент при «Y-пересечение», т.е. b=26,76.
Коэффициент а – это коэффициент при «Переменная X 1», т.е. a=2,28.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: = 2,28x +26,76.
Найдем коэффициент парной корреляции.
Для этого используем встроенную функцию MS Excel «КОРРЕЛ»..
Значение коэффициента парной корреляции положительно и близко к 1, что говорит об  очень тесной прямой связи между рассматриваемыми показателями, т.е. с увеличением расходов на рекламу объем продаж так же растет.
Проверим на уровне значимости ? = 0,05 регрессионную модель на адекватность с помощью F-критерия Фишера.
Рассчитаем фактическое значение F-критерия по формуле:,
или  определяем из таблицы 8.1.
С помощью встроенной функции «FРАСПОБР» MS Excel для уровня значимости  и числа степеней свободы k1=1 и k2=n-2=10-2=8 находим критическое значение критерия Fкр.
Если окажется что , то это означает, что гипотеза о несущественности связи между Y и Х с вероятностью ошибочности суждения  отклоняется, т.е. связь между этими переменными может быть признана существенной, а модель в целом статистически значимой (адекватной)., следовательно, полученная модель линейной регрессии адекватна.

Интерфейс

Настраиваем панель быстрого доступа

Начнем с самого простого — добавления самых часто используемых опций на панель быстрого доступа. Чтобы сделать это, заходите в параметры Excel — «Настроить ленту» — и ищите в параметрах «Панель быстрого доступа».

Опции, перенесенные на панель быстрого доступа, будут доступны при работе со всеми вашими книгами Excel (хотя можно ее настроить и отдельно для любой книги). Так что если пользуетесь какими-то командами и инструментами постоянно — добавляйте их туда.

Другой вариант — просто щелкнуть по инструменту на ленте правой кнопкой мыши и нажать «Добавить…»:

Перемещаемся по ленте без мышки

Нажмите на Alt. На ленте инструментов появились цифры и буквы — у каждого инструмента на панели быстрого доступа и у каждой вкладки на ленте соответственно:

Нажмите на клавиатуре любую из букв — попадете на соответствующую вкладку на ленте, а там каждый инструмент в свою очередь тоже будет подписан. Так можно быстро вызвать нужные опции, не трогая мышку.

LOG2 — фунции логарифма

Синтаксис:

V = log2(Z) = log2(X)

Описание:

Функция V = log2(Z) вычисляет логарифм по основанию 2 от значений элементов массива Z.

Функция = log2(X) для массива X действительных чисел возвращает массив M значений мантисс и целочисленный массив P показателей степеней, позволяющих представить любой элемент x в виде x = f*2^p; нулевому элементу соответствует представление {f = 0, e = 0}.

Примеры:

Для компьютеров с IEEE-арифметикой, в которых определены объекты eps, realmax, realmin, функция log2 вычисляет следующие величины: 

log2(eps)	log2(realmax)	log2(realmin)
ans = -52	ans = 1024	ans = -1022

а функция = log2(X) строит следующие представления чисел:

x	m	p
1	1/2	1
pi	pi/4	2
-3	-3/4	2
eps	1/2	-51
realmax	1-eps/2	1024
realmin	1/2	-1021

Сопутствующие функции: , .

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ2 – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Параметры гамма-распределения | двухпараметрическое гамма-распределение | 2 переменных гамма-распределения

Гамма-распределение с параметрами λ> 0, α> 0 и функцией плотности вероятности

имеет среднее значение и дисперсию статистических параметров как

и

поскольку λ — положительное действительное число, для упрощения и упрощения обработки другой способ — установить λ = 1 / β, чтобы получить функцию плотности вероятности в виде

вкратце функцию распределения или кумулятивную функцию распределения для этой плотности мы можем выразить как

эта функция гамма-плотности дает среднее значение и дисперсию как

и

что очевидно из подстановки.Обычно используются оба способа либо гамма-распределение с параметром α и λ, обозначаемым гамма (α, λ) или гамма-распределение с параметрами β и λ, обозначенными гамма (β, λ) с соответствующими средними статистическими параметрами и дисперсией в каждой форме.Оба они не что иное, как одно и то же.

Пример функции ГАММА и расчет параметров гамма-функции в Excel

Функция ГАММА в Excel используется для расчета значения, которое принимает гамма-функция для некоторого числа r, и возвращает соответствующее числовое значение.

Гамма-функция имеет следующий вид:

Здесь r является некоторым положительным числом, отличным от нуля.

Пример взаимосвязи функций ГАММА и ФАКТР в Excel

Пример 1. Согласно одному из свойства гамма-функции, между ней и факториалом чисел существует определенная взаимосвязь: ГАММА(x)=ФАКТР(x-1). Подтвердить справедливость этого равенства с помощью Excel.

Введем последовательный ряд чисел от 1 до 10 и ррассчитаем факториалы чисел с помощью формулы:

Для расчета значений гамма-функции используем следующую формулу и получаем результат:

Как видно, начиная с числа из ячейки A3, каждое текущее значение факториала соответствует последующему значению гамма-функции.

Вычисление гамма-функции и корня числа Пи в Excel

Пример 2. Известно, что значение гамма-функции при заданном параметре x равном ½ соответствует корню из константы Пи. Доказать справедливость этого суждения с помощью Excel. Для нахождения числа Пи используем функцию Excel: =ПИ(), а для корня с числа Пи воспользуемся формулой: =КОРЕНЬ(ПИ()), как показано ниже на рисунке:

Для решения используем следующее выражение формулой:

В ячейках B2 и C2 проверяем равенство результатов вычисления корня квадратного (функция КОРЕНЬ) из константы Пи (функция ПИ) и значения гамма-функции для числа ½.

Особенности синтаксиса функции ГАММА в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=ГАММА(x)

Единственным аргументом, обязательным для заполнения, является x – числовое значение, являющееся одним из параметров гамма-распределения.

Примечания:

1. Аргумент x принимает числовые значения из диапазона от 0 (не включительно) до бесконечности со знаком плюс. Если аргумент указан отрицательным числом или нулем, функция вернет код ошибки #ЧИСЛО!

Рассматриваемая функция выполняет промежуточные преобразования типов данных. Например, =ГАММА(ИСТИНА) вернет значение 1, =ГАММА(“4”) вернет значение 6.
Если в качестве аргумента x было введено не преобразуемое к числовым данным значение, результатом выполнения функции будет код ошибки #ЗНАЧ!.

ASIN, ASINH — функции обратного синуса

Синтаксис:

V = asin(Z)   V = asinh(Z)

Описание:

Функция V = asin(Z) вычисляет обратную функцию синуса от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического синуса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Функция Y = asin(X) для действительных значений -1<= x <= 1 определена в интервале -p /2<= x <= p /2.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Алгоритм:

Для вычисления функций обратного синуса используются следующие соотношения:

 arsh(z) = ln[z + (1 + z2)1/2]; arcsin(z) = — i arsh(iz).

Сопутствующие функции: , , , FUNM.

ACOS, ACOSH — функции обратного косинуса

Синтаксис:

V = acos(Z)   V = acosh(Z)

Описание:

Функция V = acos(Z) вычисляет обратную функцию косинуса от значений элементов массива Z.

Функция V = acosh(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического косинуса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Функция Y = acos(X) для действительных значений -1<= x <=1 определена в интервале 0 <= x <= p .

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Алгоритм:

Для вычисления функций обратного косинуса используются следующие соотношения:

 arch(z) = ln[z + (z2- 1)1/2]; arccos(z) = -i arch(z).

Сопутствующие функции:, , , FUNM.

POL2CART — преобразование полярной и цилиндрической систем координат в декартову

Синтаксис:

= POL2CART(TH, R)    = POL2CART(TH, R, Z)Описание:

Функция = POL2CART(TH, R) преобразует точки полярной системы координат в точки декартовой системы координат. Размеры массивов X и Y должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Функция = CART2POL(X, Y, Z) преобразует точки цилиндрической системы координат в точки трехмерной декартовой системы координат. Размеры массивов X, Y и Z должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Алгоритм:

Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

x = r.*cos(th);   y = r.*sin(th);   z = z;

Сопутствующие функции: .

Прочие свойства

Формула добавки

Гамма-функция проверяет формулу отражения Эйлера или дополняет формулу

∀z∈ПРОТИВ∖ZΓ(1-z)Γ(z)знак равноπгрех⁡(πz),{\ Displaystyle \ forall Z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} \ quad \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} ,}

который мы докажем, сначала отметив, что Γ (1 — z ) Γ ( z ) 2-периодичен и имеет те же полюсы и вычеты, что и .
πгрех⁡(πz){\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}}

Формула умножения

Гамма-функция также проверяет формулу дублирования: Γ(z)Γ(z+12)знак равно21-2zπΓ(2z).{\ Displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gamma (2z).}

Формула дублирования является частным случаем теоремы умножения:

Γ(z)Γ(z+1м)Γ(z+2м)⋯Γ(z+м-1м)знак равно(2π)(м-1)2м12-мzΓ(мz).{\ Displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {m}} \ right) \; \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {m}} \ справа) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {m-1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} \; m ^ {1/2 -mz} \; \ Gamma (mz).}

Эта функция также появляется в формулах, включая дзета-функцию Римана .

Остатки

Гамма-функция имеет полюс порядка 1 по z  = — n для любого натурального числа n . Остаток функции в этом полюсе определяется по формуле:

Res⁡(Γ,-нет)знак равно(-1)нетнет!.{\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ Gamma, -n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}

Производные

Гамма-функция бесконечно дифференцируема на (то есть дифференцируема p раз для любого целого p ). Его производная выражается с помощью функции дигамма  :р+*{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}Γ′(z)знак равноΓ(z)ψ(z).{\ Displaystyle \ Gamma ‘(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z). \,}

В более общем смысле, его p- я производная имеет следующее интегральное выражение:
р+*{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

Γ(п)(Икс)знак равно∫+∞(пер⁡т)птИкс-1е-тdт{\ Displaystyle \ Gamma ^ {(p)} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {(\ ln t) ^ {p} \, t ^ {x-1} \, \ operatorname {е} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}}.

Связь с гауссовыми суммами

Определение гамма-функции как интеграла делает ее сверткой между аддитивным символом (экспонентой) и мультипликативным символом ( ).
Икс↦Иксs{\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {s}}

Вычисление интегралов

Важным применением Гамма функции служит сведение к ней интегралов следующего вида, где \displaystyle{ a,\alpha,\beta } — постоянные параметры

\displaystyle{ \int_0^\infty x^\alpha \exp(-ax^\beta)\,dx = a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac1\beta\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right) }

Доказательство

После вынесения параметра:

\displaystyle{ \int_0^\infty x^\alpha \exp(-ax^\beta)\,dx=a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\int_0^\infty \left(a^{1/\beta} x\right)^\alpha \exp\Big[-(a^{1/\beta}x)^\beta\Big]\,d\left(a^{1/\beta}x\right) }

Внесения дифференциала:

\displaystyle{ a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\int_0^{\infty} \kappa^\alpha \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa=\dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \kappa^{\alpha+1-\beta} \exp(-\kappa^\beta)\,d\kappa^\beta }

И замены переменной:

\displaystyle{ \dfrac{a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}}{\beta}\int_0^{\infty} \varkappa^{\frac{\alpha+1}{\beta}-1} \exp(-\varkappa)\,d\varkappa=a^{-\frac{\alpha+1}{\beta}}\cdot\frac{1}{\beta}\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{\beta}\right) }

В частности, для широко встречающихся в приложениях физики интегралов Гауссова типа:

\displaystyle{ \int_0^\infty x^\alpha \exp(-x^2/a^2)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\frac12\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) }

И Эйлеровых интегралов:

\displaystyle{ \int_0^\infty x^\alpha \exp(-x/a)\,dx = a^{\alpha+1}\cdot\Gamma\left(\alpha+1\right) }

***

Что общего между колесом от Лады Приоры, обручальным кольцом и блюдцем вашего кота? Вы, конечно, скажете красота и стиль! Но я осмелюсь с вами поспорить. Число Пи! Это число, объединяющее все окружности, круги и округлости, к коим в частности можно отнести и мамино кольцо, и колесо от любимой папиной машины и даже блюдце любимого кота Мурзика. Готов поспорить, что в рейтинге самых популярных физических и математических констант число Пи несомненно займет первую строчку. Но что скрывается за ним? Может какие-то страшные ругательства математиков? Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.