Как посчитать натуральный логарифм в excel • экспонента что это такое

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже
это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

ln(1) = 0

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять
(т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до -3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

ln(отрицательное число) = неопределено

«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Построение графиков функций в Excel | Информатика в школе

Для удобство понимания, в первое время лучше использовать диалоговые окна. В дальнейшем вы сможете писать функцию сразу в строке формул. Для начала мы посчитаем оплату для первого сотрудника Алексей, но сразу учтем и пропишем формулу таким образом, чтобы можно было применить эту формулу и для других сотрудников, протянув ее вниз.

Статьи к прочтению:

Функции — заранее определенные формулы, которые выполняют вычисления по заданным величинам, называемым аргументами, и в указанном порядке. Например,…

Логические функции предназначены для проверки выполнения условия или для проверки нескольких условий. Функция ЕСЛИ позволяет определить, выполняется ли…

Возведение в степень и логарифм

Мы знаем, что деление и умножение — это обратные математические операции. Если выражение A × B = C правдиво, то справедливо и выражение A = C / B или B = C / A. Для выражения со степенями все не так просто. Выражение AB = BA верно только для двух случаев: когда A и B равны единице или двойке. Во всех остальных случаях такое арифметическое выражение необратимо. Для решения показательных уравнений вида A x = B используются логарифмы.

Пусть у нас есть уравнение 3x = 9. Для решения такого уравнения достаточно задаться вопросом: в какую степень нужно возвести тройку, чтобы получить 9? Элементарно, во вторую. В данном случае x = 2. Изменим немного уравнение и представим, что 3x = 10. Здесь возникает сложный вопрос, как подсчитать икс, если это не целое число? Неизвестное в данном случае будет иррациональным числом, представить которое можно только с заданной степенью точности. Математики нашли элегантный способ для компактной записи таких значений. Решением уравнения 3x = 10 будет x = log 3 10. И все, этого достаточно.

Итак, логарифм log A B — это такое число, в которое требуется возвести A, чтобы получить B. A — это основание логарифма, и оно может быть любым положительным числом. Однако существует два особенных числа, для которых были введены собственные логарифмы. Это экспонента (e = 2,71828) и число 10. Логарифмы по основанию е носят название натуральных, а по основанию 10 — десятичных.

Депозитный калькулятор со сложным процентом в Excel

Клиент банка внес депозит на сумму 50000 рублей с процентной ставкой 14,5% (сложные проценты). Определить, сколько времени потребуется на удвоение вложенной суммы?

Интересный факт! Для быстрого решения данной задачи можно воспользоваться эмпирическим способом приблизительной оценки сроков (в годах) на удвоение инвестиций, вложенных под сложный процент. Так называемое правило 72 (или 70 или правило 69). Для этого нужно воспользоваться простой формулой – число 72 разделить на процентную ставку: 72/14,5 = 4,9655 лет. Главный недостаток правила «магического» числа 72 заключается в погрешности. Чем выше процентная ставка, тем выше погрешность в правиле 72. Например, при процентной ставки 100% годовых погрешность в годах достигает до 0,72 (а в процентах это аж 28%!).

Для точного расчета сроков удвоения инвестиций будем использовать функцию LOG. За одно и проверим величину погрешности правила 72 при процентной ставке 14,5% годовых.

Вид исходной таблицы:

Для расчета будущей стоимости инвестиции при известной процентной ставке можно использовать следующую формулу: S=A(100%+n%) t , где:

• S – ожидаемая сумма по истечению срока;
• A – размер депозита;
• n – процентная ставка;
• t – срок хранения депозитных средств в банке.

Для данного примера эту формулу можно записать как 100000=50000*(100%+14,5%) t или 2=(100%+14,5%) t . Тогда для нахождения t можно переписать уравнение как t=log (114,5%) 2 или t=log 1,1452 .

Для нахождения значения t запишем следующую формулу сложного процента по депозиту в Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Описание аргументов:

• B4/B2 – соотношение ожидаемой и начальной сумм, которое является показателем логарифма;
• 1+B3 – прирост процентов (основание логарифма).

В результате расчетов получим:

Депозит удвоится спустя немного более чем 5 лет. Для точного определения лет и месяцев воспользуемся формулой:

Функция ОТБР отбрасывает в дробном числе все что после запятой подобно функции ЦЕЛОЕ. Разница между функциями ОТБР и ЦЕЛОЕ заключается лишь в расчетах с отрицательными дробными числами. Кроме того, ОТБР имеет второй аргумент где можно указать количество оставляемых знаков после запятой. Поэтом в данном случаи можно воспользоваться любой из этих двух функций на выбор пользователя.

Получилось 5 лет и 1 месяц и 12 дней. Теперь сравним точные результаты с правилом 72 и определим величину погрешности. Для данного примера формула, следующая:

Мы должны умножить значение ячейки B3 на 100 так как ее текущее значение 0,145, которое отображается в процентном формате. В результате:

После скопируем формулу из ячейки B6 в ячейку B8, а в ячейке B9:

Посчитаем сроки погрешности:

Затем в ячейку B10 снова скопируем формулу из ячейки B6. В результате получим разницу:

И наконец посчитаем разницу в процентах, чтобы проверить как изменяется размер отклонения и насколько существенно влияет рост процентной ставки на уровень расхождения правила 72 и факта:

Теперь для наглядности пропорциональной зависимости роста погрешности и роста уровня процентной ставки повысим процентную ставку до 100% годовых:

На первый взгляд разница погрешности не существенная по сравнению с 14,5% годовых — всего около 2-ух месяцев и 100% годовых — в пределах 3-х месяцев. Но доля погрешности в сроках окупаемости более чем ¼, а точнее 28%.

Составим простой график для визуального анализа как коррелируется зависимость изменения процентной ставки и процента погрешности правила 72 от факта:

Чем выше процентная ставка, тем хуже работает правило 72. В итоге можно сделать следующий вывод: до 32,2% процентов годовых можно смело пользоваться правилом 72. Тогда погрешность составляет менее 10-ти процентов. Вполне сойдет если не требуются точные, но сложные расчеты по срокам окупаемости инвестиций в 2 раза.

Специальные таблицы.

Первоначально логарифмы были изобретены для того, чтобы, пользуясь их свойствами logab
= loga
+ logb
и loga
/b
= loga
– logb
, превращать произведения в суммы, а частные в разности. Иначе говоря, если loga
и logb
известны, то с помощью сложения и вычитания мы легко можем найти логарифм произведения и частного. В астрономии, однако, часто по заданным значениям loga
и logb
требуется найти log(a
+ b
) или log(a
– b
). Разумеется, можно было бы сначала по таблицам логарифмов найти a
и b
, затем выполнить указанное сложение или вычитание и, снова обратившись к таблицам, найти требуемые логарифмы, но такая процедура потребовала бы трехкратного обращения к таблицам. З.Леонелли в 1802 опубликовал таблицы т.н. гауссовых логарифмов
– логарифмов сложения сумм и разностей – позволявшие ограничиться одним обращением к таблицам.

В 1624 И.Кеплером были предложены таблицы пропорциональных логарифмов, т.е. логарифмов чисел a
/x
, где a
– некоторая положительная постоянная величина. Эти таблицы используются преимущественно астрономами и навигаторами.

Пропорциональные логарифмы при a
= 1 называются кологарифмами
и применяются в вычислениях, когда приходится иметь дело с произведениями и частными. Кологарифм числа n
равен логарифму обратного числа; т.е. cologn
= log1/n
= – logn
. Если log2 = 0,3010, то colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Преимущество использования кологарифмов состоит в том, что при вычислении значения логарифма выражений вида pq
/r
тройная сумма положительных десятичных долей logp
+ logq
+ cologr
находится легче, чем смешанная сумма и разность logp
+ logq
– logr
.

Вычисление экспоненты в Эксель

Экспонента является числом Эйлера, возведенным в заданную степень. Само число Эйлера приблизительно равно 2,718281828. Иногда его именуют также числом Непера. Функция экспоненты выглядит следующим образом:

Для вычисления данного показателя в Экселе применяется отдельный оператор – EXP. Кроме того, эту функцию можно отобразить в виде графика. О работе с этими инструментами мы и поговорим далее.

Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции

Для того чтобы рассчитать в Экселе величину экспоненты для значения e в указанной степени, нужно воспользоваться специальным оператором EXP. Его синтаксис является следующим:

То есть, эта формула содержит только один аргумент. Он как раз и представляет собой степень, в которую нужно возвести число Эйлера. Этот аргумент может быть как в виде числового значения, так и принимать вид ссылки на ячейку, содержащую в себе указатель степени.

1. Таким образом для того, чтобы рассчитать экспоненту для третьей степени, нам достаточно ввести в строку формул или в любую незаполненную ячейку на листе следующее выражение:

Способ 2: использование Мастера функций

Хотя синтаксис расчета экспоненты предельно прост, некоторые пользователи предпочитают применять Мастер функций. Рассмотрим, как это делается на примере.

1. Устанавливаем курсор на ту ячейку, где должен будет выводиться итоговый результат расчета. Щелкаем по значку в виде пиктограммы «Вставить функцию» слева от строки формул.

Открывается окошко Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» производим поиск наименования «EXP». Выделяем это название и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов. Оно имеет только одно поле – «Число». Вбиваем в него цифру, которая будет означать величину степени числа Эйлера. Жмем на кнопку «OK».

Если в качестве аргумента используется ссылка на ячейку, которая содержит показатель степени, то нужно поставить курсор в поле «Число» и просто выделить ту ячейку на листе. Её координаты тут же отобразятся в поле. После этого для расчета результата щелкаем по кнопке «OK».

Способ 3: построение графика

Кроме того, в Экселе существует возможность построить график, взяв за основу результаты, полученные вследствие вычисления экспоненты. Для построения графика на листе должны уже иметься рассчитанные значения экспоненты различных степеней. Произвести их вычисление можно одним из способов, которые описаны выше.

1. Выделяем диапазон, в котором представлены экспоненты. Переходим во вкладку «Вставка». На ленте в группе настроек «Диаграммы» нажимаем на кнопку «График». Открывается список графиков. Выбирайте тот тип, который считаете более подходящим для выполнения конкретных задач.

Как видим, рассчитать экспоненту в Экселе при помощи функции EXP элементарно просто. Эту процедуру легко произвести как в ручном режиме, так и посредством Мастера функций. Кроме того, программа предоставляет инструменты для построения графика на основе этих расчетов.

Использование оператора LOG

Оператор LOG относится к категории математических функций. Его задачей является вычисление логарифма указанного числа по заданному основанию. Синтаксис у указанного оператора предельно простой:

Как видим, функция располагает всего двумя аргументами.

Аргумент «Число» представляет собой число, из которого нужно вычислить логарифм. Он может принимать вид числового значения и являться ссылкой на ячейку, его содержащую.

Аргумент «Основание» представляет собой основание, по которому будет вычисляться логарифм. Он тоже может иметь, как числовой вид, так и выступать в виде ссылки на ячейку. Данный аргумент не является обязательным. Если он опущен, то считается, что основание равно нулю.

Кроме того, в Экселе существует ещё одна функция, позволяющая вычислять логарифмы – LOG10. Её главное отличие от предыдущей в том, что она может вычислять логарифмы исключительно по основанию 10, то есть, только десятичные логарифмы. Её синтаксис ещё проще, чем у ранее представленного оператора:

Как видим, единственным аргументом данной функции является «Число», то есть, числовое значение или ссылка на ячейку, в которой оно расположено. В отличие от оператора LOG у этой функции аргумент «Основание» вообще отсутствует, так как принимается, что основание обрабатываемых ею значений равно 10.

Способ 1: применение функции LOG

Теперь давайте рассмотрим применение оператора LOG на конкретном примере. Имеем столбец числовых значений. Нам нужно вычислить из них логарифм по основанию 5.

1. Выполняем выделение первой пустой ячейки на листе в колонке, в которую планируем выводить итоговый результат. Далее щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию», которая располагается возле строки формул.

Происходит запуск окошка Мастера функций. Перемещаемся в категорию «Математические». Производим выделение наименования «LOG» в списке операторов, после чего производим щелчок по кнопке «OK».

Происходит запуск окошка аргументов функции LOG. Как видим, оно имеет два поля, которые соответствуют аргументам данного оператора.

В поле «Число» в нашем случае следует ввести адрес первой ячейки того столбца, в котором находятся исходные данные. Это можно сделать, вписав его в поле вручную. Но существует и более удобный способ. Устанавливаем курсор в указанном поле, а затем щелкаем левой кнопкой мыши по ячейке таблицы, содержащей нужное нам числовое значение. Координаты данной ячейки тут же отобразятся в поле «Число».

В поле «Основание» просто вписываем значение «5», так как оно будет одинаково для всего обрабатываемого числового ряда.

После произведения указанных манипуляций щелкаем по кнопке «OK».

Результат обработки функцией LOG тут же выводится в ячейку, указанную нами на первом шаге этой инструкции.

Но мы заполнили только первую ячейку столбца. Для того, чтобы заполнить и остальные, нужно скопировать формулу. Устанавливаем курсор в нижний правый угол ячейки её содержащей. Появляется маркер заполнения, представ в виде крестика. Выполняем зажим левой кнопки мыши и перетягиваем крестик до конца столбца.

Вышеуказанная процедура привела к тому, что все ячейки столбца «Логарифм» заполнены результатом вычисления. Дело в том, что ссылка, указанная в поле «Число», является относительной. При перемещении по ячейкам изменяется и она.

Урок: Мастер функций в Экселе

Способ 2: применение функции LOG10

Теперь давайте рассмотрим пример использования оператора LOG10. Для примера возьмем таблицу с теми же исходными данными. Но теперь, понятное дело, предстоит задача вычислить логарифм чисел, расположенных в столбце «Исходные данные» по основанию 10 (десятичный логарифм).

1. Производим выделение первой пустой ячейки столбца «Логарифм» и щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию».

В открывшемся окне Мастера функций опять выполняем переход в категорию «Математические», но на этот раз останавливаемся на наименовании «LOG10». Щелкаем внизу окошка по кнопке «OK».

Происходит активация окна аргументов функции LOG10. Как видим, оно располагает только одним полем – «Число». Вносим в него адрес первой ячейки столбца «Исходные данные», тем же способом, который мы использовали в предыдущем примере. Затем щелкаем по кнопке «OK» внизу окна.

Результат обработки данных, а именно десятичный логарифм заданного числа, выводится в предварительно указанную ячейку.

Для того, чтобы произвести вычисления и для всех остальных чисел представленных в таблице, производим копирование формулы посредством маркера заполнения, таким же способом, что и в предыдущий раз. Как видим, результаты расчетов логарифмов чисел выведены в ячейки, а значит, поставленная задача выполнена.

Урок: Другие математические функции в Экселе

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание и аргумент в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной уравнение: = ;
3. Полученное число будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
2. Составим и решим уравнение:log₅ 25 = ⇒ (51) = 52 ⇒ 5 = 52 ⇒ = 2;
3. Получили ответ: 2.

1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81−1 = (34)−1 = 3−4;
2. Составим и решим уравнение:
3. Получили ответ: −4.

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
2. Составим и решим уравнение:log₄ 64 = ⇒ (22) = 26 ⇒ 22 = 26 ⇒ 2 = 6 ⇒ = 3;
3. Получили ответ: 3.

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 2;
2. Составим и решим уравнение:log₁₆ 1 = ⇒ (24) = 2 ⇒ 24 = 2 ⇒ 4 = 0 ⇒ = 0;
3. Получили ответ: 0.

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 71 < 14 < 72;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log₇ 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один;48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень;35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Функция LN Excel — voxt.ru

Функция LN в Excel

Это встроенная функция в MS Excel. LN excel относится к категории «Математические функции» в MS Excel. Excel LN используется для вычисления натурального логарифма числа.

Что такое функция натурального логарифма?

Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы.е, где е — иррациональное и трансцендентное число, примерно равное 2,718281828459. Функция натурального логарифма x обычно записывается как пер Икс, ложа х а иногда, если база е неявно, просто журнал x.

Итак, Ln (Number) = LOG (Number, e)

Где e ~ = 2,7128

Ниже представлен график функции LN.

На приведенном выше графике функций LN ось X указывает номер, для которого необходимо вычислить журнал, а ось Y указывает значения журнала. Например, log (1) равен 0, как показано на графике функций LN.

Формула LN в Excel

Формула функции LN Excel выглядит следующим образом:

LN Formula имеет три аргумента, два из которых являются необязательными. Где,

• количество = Это обязательный параметр. Он указывает число, для которого должна быть вычислена функция натурального логарифма. Число должно быть положительным действительным числом.
• Если параметр является отрицательным числом, возвращается ошибка с # ЧИСЛО! с указанием ошибки с номером.
• Если параметр равен нулю, возвращается ошибка с # ЧИСЛО! с указанием ошибки с номером.
• Если параметр является нечисловым значением, он возвращает ошибку с #VALUE! указывает на ошибку сгенерированного значения.

Как использовать функцию LN в Excel?

Указанная функция является функцией рабочего листа (WS). Как функцию WS, функцию Excel LN можно ввести как часть формулы в ячейку рабочего листа. Обратитесь к примерам, приведенным ниже, чтобы лучше понять.

Вы можете скачать этот шаблон LN Excel здесь — Шаблон LN Excel

Пример # 1 — Дробное число

В этом примере с ячейкой C2 связана формула LN. Итак, C2 — это ячейка результата. Первый аргумент LN — это B2, число, для которого необходимо вычислить журнал. Число 0,5, а логарифм 0,5 равен -0,693147. Итак, значение результирующей ячейки равно -0,693147.

Пример # 2 — Нулевое число

В этом примере с ячейкой C4 связана формула LN. Итак, C4 — это ячейка результата. Первый аргумент LN — это B4, число, для которого необходимо вычислить журнал. Число равно 0, и логарифм 0 не может быть вычислен. Функция LN в Excel не принимает числовое значение как ноль, поэтому в ответ выдается ошибка. Ошибка # ЧИСЛО! что означает, что номер ошибочный.

Пример # 3 — Целое число

В этом примере с ячейкой C6 связана формула LN. Итак, C6 — это ячейка результата. Первый аргумент LN — это B6, число, для которого необходимо вычислить журнал. Число 5, а логарифм 5 — 1,609437912. Итак, значение в результирующей ячейке — 1,609437912.

Пример # 4 — Нечисловое значение

В этом примере с ячейкой C8 связана формула LN. Итак, C8 — это ячейка результата. Первым аргументом LN в excel является B8, число, для которого необходимо вычислить журнал. Число — «abc», и журнал нечисловых значений не может быть вычислен. Функция LN в Excel возвращает ошибку, если журнал не может быть рассчитан для такого значения. Ошибка #VALUE! что означает, что значение ошибочно.

Пример # 5 — Отрицательное число

В этом примере с ячейкой C10 связана формула LN. Итак, C10 — это ячейка результата. Первым аргументом LN в Excel является B10, число, для которого необходимо вычислить журнал. Число равно -1,2, и логарифм отрицательного числа не может быть вычислен. Поскольку значение отрицательное, функция LN в Excel возвращает ошибку, указывающую, что значение является ошибочным. Итак, значение в результирующей ячейке — # ЧИСЛО! что означает, что номер ошибочный.

То, что нужно запомнить

• Функция LN в Excel принимает в качестве параметра только положительное действительное число. Делитель не может быть нулевым.
• Если параметр является отрицательным числом, возвращается ошибка с # ЧИСЛО! с указанием ошибки с номером.
• Если параметр равен нулю, возвращается ошибка с # ЧИСЛО! с указанием ошибки с номером.
• Если параметр представляет собой нечисловое значение, он возвращает ошибку с #VALUE! указывает на ошибку сгенерированного значения.

Excel VBA для аналогичной цели

VBA имеет отдельную встроенную функцию для вычисления функции натурального логарифма, то есть LOG. Его можно использовать следующим образом.

пример:

Давайте посмотрим на пример, приведенный ниже, для лучшего понимания.

logVal = LOG (5)

logVal: 1.609437912

Здесь 5 — это число, для которого должна быть вычислена функция натурального логарифма. Лог (5) по основанию e равен 1.609437912. Итак, переменная logVal содержит значение 1.609437912.

УЗНАТЬ БОЛЬШЕ >>

Post Views: 2 310

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Подстановка пределов интегрирования

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x
и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x
стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x
).

Натуральный логарифм
— это логарифм по основанию , где e {\displaystyle e}

— иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln ⁡ x {\displaystyle \ln x}
, log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x}
или иногда просто log ⁡ x {\displaystyle \log x}
, если основание e {\displaystyle e}

подразумевается . Другими словами, натуральный логарифм числа x
— это показатель степени , в которую нужно возвести число e
, чтобы получить x
. Это определение можно расширить и на комплексные числа .

ln ⁡ e = 1 {\displaystyle \ln e=1}
e 1 = e {\displaystyle e^{1}=e}
ln ⁡ 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0}
e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1}

Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a
как площадь под кривой y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
на промежутке {\displaystyle }
. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; {\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);}
ln ⁡ e a = a (a > 0) . {\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . {\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}

1.8. Формула возведения дроби в степень.

E = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм

Y = Log b (x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число — основание логарифма (b), чтобы
получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например: Log 10 (100) = 2.

Y = Log 10 (x) .

Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел .

Y = Log 2 (x).

Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральный логарифм

Y = Log e (x) .

Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

Пример:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.