Arctg в excel

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
 

Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

1. По определению:
   tg α = y/x
   ctg α = x/y
2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
3. Преобразовываем выражение, подставляем  и ,
   получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
3. Далее подставляем значения sin α:
4. Вычисляем:
5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:
6. Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

Ответ:

Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Как решаем: 

1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
3. Далее подставляем значения sin α:
4. Вычисляем:
5. То же самое проделываем со вторым значение sin α
   Подставляем значения sin α:
6. Вычисляем:

Ответ:

Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

Тригонометрические функции SIN COS в Excel для синуса и косинуса

Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.

Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.

Примеры использования функций SIN, SINH, COS и COSH в Excel

Пример 1. Путешественник движется вверх на гору с уклоном в 17°. Скорость движения постоянная и составляет 4 км/ч. Определить, на какой высоте относительно начальной точке отсчета он окажется спустя 3 часа.

Для решения используем формулу:

• B2*B3 – произведение скорости на время пути, результатом которого является пройденное расстояние (гипотенуза прямоугольного треугольника);
• SIN(РАДИАНЫ(B1)) – синус угла уклона, выраженного в радианах с помощью функции РАДИАНЫ.

В результате расчетов мы получили величину малого катета прямоугольного треугольника, который характеризует высоту подъема путешественника.

Таблица синусов и косинусов в Excel

Пример 2. Ранее в учебных заведениях широко использовались справочники тригонометрических функций. Как можно создать свой простой справочник с помощью Excel для косинусов углов от 0 до 90?

Заполним столбцы значениями углов в градусах:

Для заполнения используем функцию COS как формулу массива. Пример заполнения первого столбца:

Вычислим значения для всех значений углов. Полученный результат:

Примечание: известно, что cos(90°)=0, однако функция РАДИАНЫ(90) определяет значение радианов угла с некоторой погрешностью, поэтому для угла 90° было получено отличное от нуля значение.

Аналогичным способом создадим таблицу синусов в Excel:

Построение графика функций SINH и COSH в Excel

Пример 3. Построить графики функций sinh(x) и cosh(x) для одинаковых значений независимой переменной и сравнить их.

Формула для нахождения синусов гиперболических:

Формула для нахождения косинусов гиперболических:

Таблица полученных значений:

Построим графики обеих функций на основе имеющихся данных. Выделите диапазон ячеек A1:C12 и выберите инструмент «ВСТАВКА»-«Диаграммы»-«Вставь точечную (X,Y) или пузырьковую диаграмму»-«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»:

Как видно, графики совпадают на промежутке (0;+∞), а в области отрицательных значений x части графиков являются зеркальными отражениями друг друга.

Особенности использования тригонометрических функций в Excel

Синтаксис функции SIN:

Синтаксис функции SINH:

Синтаксис функции COS:

Синтаксис функции COSH:

Каждая из приведенных выше функций принимает единственный аргумент число, который характеризует угол, заданный в радианах (для SIN и COS) или любое значение из диапазона вещественных чисел, для которого требуется определить гиперболические синус или косинус (для SINH и COSH соответственно).

Тригонометрия в Excel: основные функции

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Для корректного расчета геометрических величин, Вам понадобятся познания в элементарных расчетах и некоторые из функций Excel. Так, функция КОРЕНЬ извлечет квадратный корень из заданного числа. Например, запишем: =КОРЕНЬ(121) , и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11», программа возвращает только положительный результат в таких случаях.

Еще одна функция – ПИ() , не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

Внеклассный урок — Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t,  3π/2 – t,  π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

Правило приведения:

Для выраженийπ + t,   π – t,   2π + t,   2π – t	Для выражений π/2 + t,   π/2 – t,   3π/2 + t,  3π/2 – t
1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения.2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0	1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную.2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны

• Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).
• Решение.
• Следуем правилу:
• 1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:
• cos (π + t) = cos t.

2) Осталось определиться со знаком полученной функции.

Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:

1. cos (π + t) = –cos t.
2. Пример решен.
3. Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).
4. Решение.
5. Следуем правилу:
6. 1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:
7. sin (3π/2 – t) = cos t

2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0

• sin (3π/2 – t) = –cos t.
• Пример решен.
• Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.
• Формулы приведения.

cos (π + t) = –cos t	sin (π + t) = –sin t	tg (π + t) = tg t	ctg (π + t) = ctg t
cos (π – t) = –cos t	sin (π – t) = sin t	tg (π – t) = –tg t	ctg (π – t) = –ctg t
cos (2π + t) = cos t	sin (2π + t) = sin t	tg (2π + t) = tg t	ctg (2π + t) = ctg t
cos (2π – t) = cos t	sin (2π – t) = –sin t	tg (2π – t) = –tg t	ctg (2π – t) = –ctg t
cos (π/2 + t) = –sin t	sin (π/2 + t) = cos t	tg (π/2 + t) = –ctg t	ctg (π/2 + t) = –tg t
cos (π/2 – t) = sin t	sin (π/2 – t) = cos t	tg (π/2 – t) = ctg t	ctg (π/2 – t) = tg t
cos (3π/2 + t) = sin t	sin (3π/2 + t) = –cos t	tg (3π/2 + t) = –ctg t	ctg (3π/2 + t) = –tg t
cos (3π/2 – t) = –sin t	sin (3π/2 – t) = –cos t	tg (3π/2 – t) = ctg t	ctg (3π/2 – t) = tg t

Примечание:

Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила. Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.

История[править | править код]

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась अर्धज्या, ардха-джья̄ («полутетива»), затем слово ардха- (अर्ध) было отброшено и линию синуса стали называть просто джья̄ (ज्या). Но чаще использовался синоним джӣва, «живой» (जीबा). Арабские переводчики не перевели слово джӣва арабским словом ватар (وتر), обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса джӣба (произношение جيبا). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое ӣ в слове джӣба обозначается так же, как полугласная й (جيب), Герардо Кремонский интерпретировал слово как джайб, что буквально обозначает «впадина», «пазуха» и перевёл его на латынь словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin Синус \sin и косинуса cos Косинус \cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens, «касающийся») и «секанс» (secans, «секущий») были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Замена выражения под тригонометрической функцией

Мы научились решать простейшие уравнения. И на этом строится решение всех остальных тригонометрических уравнений. Они все так или иначе сводятся к решению простейших. И один из способов – это введение замены переменной.

Вы должны были с этим регулярно сталкиваться в младших классах при решении, например, биквадратных уравнений. Все дальнейшие рассуждения предполагают, что вы знаете, что такое замена переменной. Итак, разберем пример:

Пример 18
$$\sin(2x)=\frac{\sqrt{3}}{2};$$

Обратите внимание, что теперь у нас под синусом стоит не просто \(x\), а целое выражение. Давайте избавимся от него, убрав \(2x\) в замену: пусть \(t=2x\)

Теперь наше уравнение превратилось в простейшее тригонометрическое. Решаем его относительно переменной \(t\) (вы можете решать при помощи единичной окружности или по готовым формулам, как вам удобнее. Я же буду просто выписывать ответ):
$$t_{1}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$t_{2}=\frac{2\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$

На этом решение не заканчивается. Мы нашли значения \(t\), а нам надо найти \(x\). Делаем обратную замену, вспоминая, что \(t=2x\):
$$2x_{1}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$2x_{2}=\frac{2\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
И просто выражаем из получившихся выражений \(x\), для этого разделим левую и правую часть равенства на \(2\):
$$\frac{2x_{1}}{2}=\frac{\frac{\pi}{3}+2\pi*n}{2}, \quad n \in Z;$$
$$\frac{2x_{2}}{2}=\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi*n}{2}, \quad n \in Z;$$

$$x_{1}=\frac{1}{2}*\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{1}{2}*\frac{2\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Обратите внимание, что период тоже не забываем поделить на \(2\). Ответ:
$$x_{1}=\frac{\pi}{6}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z.$$

Ответ:
$$x_{1}=\frac{\pi}{6}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z.$$

Аналогичным образом можно решать тригонометрические уравнения с более сложным подтригонометрическим выражением:

Пример 19
$$tg(\frac{2x+\pi}{3})=1;$$

Под тангенсом тут стоит целая дробь, зависящая от \(x\). Засунем всю эту дробь в замену:
$$t=\frac{2x+\pi}{3};$$
Уравнение примет вид:
$$tg(t)=1;$$
Решением этого простейшего уравнения будет:
$$t=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Делаем обратную замену, вместо \(t\) подставляем \(\frac{2x+\pi}{3}\):
$$\frac{2x+\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
И выражаем отсюда \(x\). Домножим равенство на \(3\):
$$2x+\pi=3*(\frac{\pi}{4}+\pi*n), \quad n \in Z;$$
$$2x+\pi=\frac{3\pi}{4}+3\pi*n, \quad n \in Z;$$
Перенесем \(\pi\) направо:
$$2x=-\pi+\frac{3\pi}{4}+3\pi*n, \quad n \in Z;$$
Приведем подобные слагаемые:
$$2x=-\frac{\pi}{4}+3\pi*n, \quad n \in Z;$$
И разделим на \(2\):
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{3}{2}*\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{3}{2}*\pi*n, \quad n \in Z;$$

Замена всей тригонометрической функции

Что делать с подтригонометрическим выражением, мы разобрались. Теперь решим пример на замену, при помощи которой тригонометрическое уравнение сводится к квадратному.

Пример 20
$$2*\sin^2(x)+\sin(x)-1=0;$$
Обращаем внимание на одинаковое выражение \(\sin(x)\). Сделаем замену:
$$t=\sin(x);$$
$$2t^2+t-1=0;$$
Получили обыкновенное квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
$$D=1-4*2*(-1)=9;$$
$$t_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2};$$
$$t_{2}=\frac{-1-3}{4}=-1;$$
Делаем обратную замену и получаем два простейших тригонометрических уравнения

Первое:
$$\sin(x)=\frac{1}{2};$$
$$x_{1}=\frac{\pi}{6}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второе:
$$\sin(x)=-1;$$
$$x_{3}=\frac{3\pi}{2}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Записываем ответ из трех наборов решений.

Основное тригонометрическое тождество

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите \(3\sqrt{2}*\sin(\alpha)=?\), если \(\cos(\alpha)=\frac{1}{3}\) и \(\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})\). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения \(3\sqrt{2}*\sin(\alpha)\) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$\sin(\alpha)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=1;$$
$$\sin(\alpha)^2+\frac{1}{9}=1;$$
$$\sin(\alpha)^2=1-\frac{1}{9};$$
$$\sin(\alpha)^2=\frac{8}{9};$$
$$\sin(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{8}{9}}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак \(\pm\), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает. В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ

Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на \(\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})\), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз \(\alpha\) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$\sin(\alpha)=\frac{2\sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3\sqrt{2}*\sin(\alpha)=3\sqrt{2}*\frac{2\sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: \(4.\)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Математические и тригонометрические функции

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022  (1) Сентябрь 2022  (1) Январь 2022  (2) Сентябрь 2021  (1) Июль 2021  (1) Июнь 2021  (2) Май 2021  (1) Апрель 2021  (1) Март 2021  (1) Сентябрь 2020  (1) Август 2020  (2) Июль 2020  (2) Июнь 2020  (2) Декабрь 2019  (3) Ноябрь 2019  (4) Октябрь 2019  (3) Сентябрь 2019  (2) Май 2019  (1) Октябрь 2018  (1) Июнь 2018  (1) Апрель 2018  (1) Январь 2018  (1) Ноябрь 2017  (1) Октябрь 2017  (1) Сентябрь 2017  (2) Август 2017  (4) Июль 2017  (5) Июнь 2017  (4) Май 2017  (5) Апрель 2017  (2) Март 2017  (1) Февраль 2017  (1) Январь 2017  (3) Декабрь 2016  (1) Ноябрь 2016  (2) Октябрь 2016  (3) Сентябрь 2016  (4) Август 2016  (6) Июль 2016  (9) Июнь 2016  (4) Май 2016  (5) Апрель 2016  (6) Март 2016  (5) Февраль 2016  (8) Январь 2016  (8) Декабрь 2015  (9) Ноябрь 2015  (4) Июль 2015  (1) Март 2015  (1) Февраль 2015  (1) Январь 2015  (1) Июль 2014  (1) Июль 2013  (1) Март 2013  (2) Декабрь 2012  (1) Ноябрь 2012  (1) Сентябрь 2012  (3) Август 2012  (4) Июль 2012  (4) Июнь 2012  (4) Май 2012  (4) Апрель 2012  (5) Март 2012  (7) Февраль 2012  (8) Январь 2012  (7) Декабрь 2011  (5) Ноябрь 2011  (1)

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$\sin(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1-\cos(\alpha)}{2};$$
$$\cos(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1+\cos(\alpha)}{2};$$
$$tg(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)};$$
$$ctg(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1+\cos(\alpha)}{1-\cos(\alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол \(\alpha\) всегда можно представить в виде удвоенного угла \(\frac{\alpha}{2}\):
$$\alpha=2*\frac{\alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$\cos(\alpha)=1-2*\sin(\frac{\alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда \(\sin(\frac{\alpha}{2})\):
$$\sin(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1-\cos(\alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$\sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$\cos(\alpha)=2*\cos(\frac{\alpha}{2})^2-1;$$
$$\cos(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{\cos(\alpha)+1}{2};$$
$$\cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}}}=\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(\frac{\alpha}{2})=\frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}=\frac{\pm\sqrt{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{\cos(\alpha)+1}{2}}{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}}=\frac{1+\cos(\alpha)}{1-\cos(\alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать \(\cos(15^o)\):

$$\cos(\frac{\alpha}{2})^2=\frac{1+\cos(\alpha)}{2};$$
$$\cos(15^o)^2=\frac{1+\cos(30^o)}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4};$$
$$\cos(15^o)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы \(\alpha\), а левой \(\frac{\alpha}{2}\). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$\sin(5\alpha)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(10\alpha)}{2}};$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$\mathbf{\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);}$$
   $$\mathbf{\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$\mathbf{\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);}$$
   $$\mathbf{\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$\mathbf{tg(\alpha+\beta)=\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)*tg(\beta)};}$$
   $$\mathbf{tg(\alpha-\beta)=\frac{tg(\alpha)-tg(\beta)}{1+tg(\alpha)*tg(\beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$\mathbf{сtg(\alpha+\beta)=\frac{-1+сtg(\alpha)*ctg(\beta)}{ctg(\alpha)+ctg(\beta)};}$$
   $$\mathbf{сtg(\alpha-\beta)=\frac{-1-сtg(\alpha)*ctg(\beta)}{ctg(\alpha)-ctg(\beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение \(sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
$$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2})*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\frac{\pi}{2})=$$
$$=1*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*0=\cos(\alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение \(\sin(15^o)=?\)

\(15^o\) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим \(15^o\) в виде разности стандартных углов \(15^o=45^o-30^o\). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
$$\sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin(45^o)*\cos(30^o)-\sin(30^o)*\cos(45^o)=$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус \(15^o\). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: \(\sin(15^o)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\)

Пример 5
Найдите значение \(\cos(75^o)=?\)

\(75^o\) можно представить в виде суммы стандартных углов \(75^o=30^o+45^o\). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(30^o)*\cos(45^o)-\sin(30^0)*\sin(45^0)=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что \(\cos(75^o)=\sin(15^o)\). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: \(\cos(75^o)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\)

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы приведения. Быстро и легко!

Тригонометрия.Формулы приведения.

Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода. Это очень легко!

• Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.
• Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a).
• Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.

В первой четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
И функция cos(a)>0, потому что ось X положительна в этой четверти.Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).

Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0, потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a)

В четвертой четверти видно, что функция sin(a)0, потому что ось X положительна в этой четверти.Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).

Теперь рассмотрим сами формулы приведения.

Запомним простой алгоритм:
1. Четверть. (Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
2. Знак. (Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
3. Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется.

И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.

Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции косинуса положительный.
3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.

Будет cos(90-α) = sin(α)

Как запомнить формулы приведения

Одно дело — воспользоваться формулами, а совсем другое — выучить их. Знать наизусть все формулы приведения или всю таблицу — дело нелегкое и, к счастью, абсолютно ненужное.

Поэтому познакомимся с мнемоническим алгоритмом:

1. Представьте аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол, то есть принадлежит отрезку

2. Изобразите (на листе или мысленно) на единичной окружности данный угол.

3. С помощью окружности определите знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

   Напоминаю знаки тригонометрических функций во всех четвертях тригонометрической окружности:

4. Если в аргументе у опорной точки n — нечетное число, то исходную функцию замените на кофункцию, то есть на противоположную функцию (синус меняется на косинус, тангенс — на котангенс, и наоборот).

   Если в аргументе у опорной точки n — четное число, то функция не меняется.

Вот с этим пунктом изменения или сохранения функции возникает постоянная путаница. А запомнить поможет «правило лошадки».

Правило лошадки
Когда вы во втором шаге изобразили на единичной окружности угол, обратите внимание на положение опорной точки. Если она располагается на вертикальной оси, то при вопросе «Меняется ли функция?» лошадка кивает головой вверх-вниз и отвечает: «Да»

Если опорная точка располагается на горизонтальной оси, то лошадка мотает головой влево-вправо и отвечает: «Нет, функция не меняется».

Таким образом, формулы приведения — это тригонометрические тождества вида

Задание 1

Найдите значение выражения

Вы видите, что каждое слагаемое выражения — это формула приведения тригонометрической функции. Упростим их по отдельности.

1. Сначала нужно представить аргумент в виде , где n — целое число, а — острый угол. Здесь этот шаг уже выполнен, поэтому пропускаем его.

2. Далее изображаем данный угол на тригонометрической окружности:

3. Определяем знак исходной функции, то есть синуса. Синус этого угла принимает положительные значения.

4. В конце определяем, меняется ли функция. В этом нам поможет «правило лошадки»: опорная точка лежит на горизонтальной оси, значит, функция не меняется на кофункцию, то есть синус не меняется на косинус.

Значит, .

Приведем аналогичные рассуждения для всех слагаемых в выражении.

1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

2. Косинус во второй четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

1. Аргумент уже представлен в виде , где n — целое число, а — острый угол.

2. Косинус в третьей четверти тригонометрической окружности принимает отрицательные значения.

3. Опорная точка лежит на вертикальной оси — это случай, когда косинус меняется на синус.

Значит, .

А теперь запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Обратите внимание, к какому простому виду удалось привести это сложное, на первый взгляд, выражение

Задание 2

До этого момента мы говорили о формулах приведения тригонометрических функций углов, выраженных в радианах. Однако мы понимаем, что градусы и радианы — это разные способы представления одних и тех же углов или аргументов, поэтому тригонометрические формулы приведения работают и для выражений с градусами.

Разберем на примере: найдите значение выражения .

В этом случае важно заметить, что , а значит, одну из функций, например , можно представить в виде , то есть в виде, необходимом для использования формулы приведения. Так как первый шаг выполнен, то продолжаем идти по алгоритму

Так как первый шаг выполнен, то продолжаем идти по алгоритму.

Косинус в первой четверти тригонометрической окружности принимает положительные значения.

Опорная точка лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус.

Значит,

Запишем преобразованные выражения в наше исходное и упростим:

Формулы приведения в тригонометрии занимают второе место по важности и частоте использования после основного тригонометрического тождества, так что осваивайте теоретические материалы, практикуйтесь на задачках, а за другими полезными формулами и самыми хитрыми заданиями приходите на онлайн-курсы математики для детей в Skysmart

Как в Excel построить синусоиду

Допустим имеется функция синусоиды, заданной уравнением y=sin4*x. Формула в Excel имеет вид:

=SIN(4*C4)

Требуется построить график функции.

Функция в данном случае непрерывная, поэтому по оси x ограничим интервалом от 1 до -1, шаг возьмём 0,1.

В итоги у нас должна получится таблица вида:

x	y=sin4*x
1	-0,75680
0,9	-0,44252
0,8	-0,05837
0,7	0,33499
0,6	0,67546
0,5	0,90930
0,4	0,99957
0,3	0,93204
0,2	0,71736
0,1	0,38942
0,00000
-0,1	-0,38942
-0,2	-0,71736
-0,3	-0,93204
-0,4	-0,99957
-0,5	-0,90930
-0,6	-0,67546
-0,7	-0,33499
-0,8	0,05837
-0,9	0,44252
-1	0,75680

Переходим на вкладку Вставка -> Точечная с гладкими кривыми и маркерами.

Появится область графика, кликаем на белую область правым указателем мыши, выскакивает меню, далее Выбрать данные, появляется окно Выбора источника данных, выбираем весь диапазон данных нашей синусоиды в ячейках, затем Ок.

В итоги у нас получается график вида.

Также вид графика тоже можно настроить через конструктор и дополнительные инструменты.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.7 / 5. Количество оценок: 3

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

3658

Однородные тригонометрические уравнения

Мы выяснили, что для того, чтобы решить уравнение, необходимо привести все к одинаковым тригонометрическим функциям от одинаковых аргументов. Но иногда сделать это затруднительно. Например, как вы будете решать вот такое уравнение:

Пример 23
$$\sin(x)+\cos(x)=0;$$

Нет такой удобной формулы, по которой можно превратить синус в косинус или наоборот. Хотя, конечно, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и выразить оттуда синус через косинус:
$$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1;$$
$$\sin^2(x)=1-\cos^2(x);$$
$$\sin(x)=\pm\sqrt{1-\cos^2(x)};$$
Подставив это выражение вместо синуса в исходное уравнение, мы получим в уравнении одни косинусы, но уравнение станет иррациональным (то есть с корнем). Его можно решить, но это достаточно сложно. И так никто не делает.

Оптимальным решением здесь будет поделить исходное уравнение на синус или косинус, давайте поделим на косинус:
$$\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)};$$
$$\frac{\sin(x)}{\cos(x)}+\frac{\cos(x)}{\cos(x)}=0;$$
$$tg(x)+1=0;$$
$$tg(x)=-1;$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Рассмотрим еще один пример:

Пример 24
$$\sin(x)+\sqrt{3}*\cos(x)=0;$$

Аналогично предыдущему примеру поделим все уравнение на \(\sin(x)\):
$$1+\sqrt{3}*\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=0;$$
$$1+\sqrt{3}*ctg(x)=0;$$
$$\sqrt{3}*ctg(x)=-1;$$
$$ctg(x)=-\frac{1}{\sqrt{3}};$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Мы рассмотрели два примера так называемых однородных уравнений первой степени. Рассмотрим пример на однородное уравнение второй степени.

Пример 25
$$3\sin^2(x)+\sin(x)*\cos(x)=2\cos^2(x);$$

Здесь тоже будем применять деление, только в этот раз будем делить каждое слагаемое на \(\cos^2(x)\) (можно поделить и на \(\sin^2(x)\), это не имеет значения):
$$3\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin(x)*\cos(x)}{\sin^2(x)}=\frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)};$$
$$3tg^2(x)+tg(x)=2;$$
Теперь можно сделать замену \(t=tg(x)\):
$$3t^2+t=2;$$
$$3t^2+t-2=0;$$
$$D=1+24=25;$$
$$t_{1}=\frac{-1-5}{6}=-1;$$
$$t_{2}=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3};$$
Обратная замена:
Первое уравнение:
$$tg(x)=-1;$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второе уравнение:
$$tg(x)=\frac{2}{3};$$
$$x=arctg(\frac{2}{3})+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x=arctg(\frac{2}{3})+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Есть нюанс, на котором школьники часто сыпятся. Освоив метод деления, ученик начинает пытаться решить тригонометрические уравнения только через него и на экзамене, решив вроде все правильно, получает 0 баллов.

Оказывается, что не всякое уравнение можно разделить на выражение зависящее от \(x\). Посмотрите пример №26, это убережет вас от подобных ошибок на экзамене.

Пример 26
$$\sin^2(x)+\sin(x)=0;$$

Разделим уравнение на \(\sin(x)\):
$$\sin(x)+1=0;$$
$$\sin(x)=-1;$$
$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
И тут, кажется, можно записывать ответ, но это неверное решение уравнения, так решать нельзя. Достаточно легко заметить, что \(\sin(x)=0\) тоже будет являться решением исходного уравнения. Подставьте вместо \(\sin(x)\) ноль и получите верное равенство. А в нашем решении такого ответа нет, значит где-то по дороге мы потеряли корни. А потеряли мы их именно в тот момент, когда сделали деление.

Запомните важное правило! Делить уравнение можно только тогда, когда выражение, на которое вы делите, равное нулю не будет корнем исходного уравнения.
В нашем случае мы делим на \(\sin(x)\), но \(\sin(x)=0\) является решением, поэтому делить нельзя

Функция СУММЕСЛИ

Синтаксис:

СУММЕСЛИ(интервал, критерий, сумм_интервал) 

Результат: Сумма значений из заданного интервала, удовлетворяющих требуемому критерию.

Аргументы:

• интервал — интервал вычисляемых ячеек;
• критерий — критерий в виде числа, выражения или текста, который определяет, какая ячейка добавляется (например, критерий может быть выражен как 32, «32», «>32», «яблоки»);
• сумм_интервал — фактические ячейки для суммирования (ячейки, указанные в аргументе сумм_интервал, суммируются только в том случае, если соответствующие им ячейки в аргументе интервал удовлетворяют критерию, задаваемому аргументом критерий; если аргумент сумм_интервал опущен, то суммируются ячейки в интервале, задаваемом аргументом интервал).