Прогнозирование методом экспоненциального сглаживания (ES, exponential smoothing)
- Синяя линия представляет результат экспоненциального сглаживания временного ряда с коэффициентом сглаживания 0,3;
- Оранжевая линия — результат экспоненциального сглаживания с использованием 0,05.
- Как мы видели, чем меньше коэффициент сглаживания, тем более гладкий результат. Это легко понять, поскольку, когда коэффициент сглаживания приближается к 0, модель становится ближе к модели скользящего среднего.
В целом, чем меньше значение а, тем менее оно чувствительно к изменениям тренда в данном временном ряду. Чтобы решить эту проблему, мы можем взять большее значение а. Рассмотрим, например, значение сглаживающей константы, равное а=0,3. На рисунке 2 в столбце С приведены сглаженные значения, рассчитанные по этой константе.
Метод наименьших квадратов
В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + … e n 2).
В математической записи это имеет вид:
Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:
Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:
Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:
После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:
Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a * и b * . Это и есть минимум, т. е. для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a * x + b * , представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь. Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.
Метод наименьших квадратов
В Excel, как известно, существует встроенная функция автосуммы, позволяющая вычислить значения всех значений, расположенных в выделенном диапазоне. Таким образом, ничто не помешает нам рассчитать значение выражения (e12 + e22 + e32+ … en2).
В математической записи это имеет вид:
Так как изначально было принято решение об аппроксимировании с помощью прямой, то имеем:
Таким образом, задача нахождения прямой, которая лучше всего описывает конкретную зависимость величин X и Y, сводится к вычислению минимума функции двух переменных:
Для этого требуется приравнять к нулю частные производные по новым переменным a и b, и решить примитивную систему, состоящую из двух уравнений с 2-мя неизвестными вида:
После нехитрых преобразований, включая деление на 2 и манипуляции с суммами, получим:
Решая ее, например, методом Крамера, получаем стационарную точку с некими коэффициентами a* и b*. Это и есть минимум, т. е. для предсказания, какой товарооборот будет у магазина при определенной площади, подойдет прямая y = a*x + b*, представляющая собой регрессионную модель для примера, о котором идет речь. Конечно, она не позволит найти точный результат, но поможет получить представление о том, окупится ли покупка в кредит магазина конкретной площади.
Что такое второй замечательный предел
Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.
Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.
Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):
Второй замечательный предел
То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.
Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е. Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:
(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691
Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.
Метод наименьших квадратов
В основе метода наименьших квадратов (МНК) лежит поиск таких значений коэффициентов регрессии, при которых сумма квадратов отклонений теоретического распределения от эмпирического была бы наименьшей.
Иными словами, из всего множества линий, линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:
следовательно
Целью процедур линейной регрессии является подгонка прямой линии по точкам.
А именно, построить линию регрессии так, чтобы минимизировать квадраты отклонений этой линии от наблюдаемых точек.
Поэтому на эту общую процедуру иногда ссылаются как на оценивание по методу наименьших квадратов. Прямая линия на плоскости (в пространстве двух измерений) задается уравнением Y=ax+b
Линейная функция
Зная зависимость между величинами, представленными в таблице и полученные опытным путем, необходимо составить математическую зависимость (функциональную зависимость). Воспользуемся методом наименьших квадратов. Пусть опытные данные, близкие к линейной функции, записаны в таблицу вида:
| X | x1 | x2 | x3 | … | xn |
| Y | y1 | y2 | y3 | … | yn |
Подбираем y=ax+b таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Чтобы найти минимум функции надо вычислить частные производные по каждому из параметров а и b и приравнять их к нулю. Обозначим сумму квадратов отклонений (Σεi2) через S, тогда:
S зависит от a и b, т.е. функция двух переменных принимает наименьшее значение в стандартной точке, которая находится из условия:
Приравняем каждую частную производную к нулю:
Формула для расчета линейной функции y=ax+b
Опытные данные:
| i | Yi | Xi | X2i | YiXi |
| 1 | -8 | -2 | 4 | 16 |
| 2 | 7 | -1 | 1 | -7 |
| 3 | 7 | |||
| 4 | 5 | 2 | 4 | 10 |
| 5 | 5 | 3,5 | 12,25 | 17,5 |
| 6 | 3,5 | 4 | 16 | 14 |
| 7 | 3 | 5 | 25 | 15 |
| 8 | 2,5 | 6 | 36 | 15 |
| 9 | 2 | 7 | 49 | 14 |
| 10 | 1,5 | 7 | 49 | 10,5 |
| Σ | 28,5 | 31,5 | 196,25 | 105 |
Для решения системы линейных уравнений и определения параметров, воспользуемся методом Крамера.
Уравнение прямой принимает следующий вид: y=0.1569X+2.3557
Всего один выброс (экстремальная точка с координатами -2; -8 на диаграмме рассеяния) может полностью изменить наклон регрессионной линии и, следовательно, вид зависимости между переменными.
Такие выбросы могут исказить оценки модели, сдвигая линию регрессии в определенном направлении и, тем самым, вызывая смещение коэффициентов регрессии.
На случай появления выбросов, должны быть предусмотрены корректировки, основанные на использовании “принципов статистического контроля”, т. е.
значения, выходящие за определенный диапазон, который определяется в терминах, кратных сигма, т.е. стандартных отклонений, могут быть преобразованы или вовсе пропущены, и только после этого должны вычисляться окончательные оценки параметров модели (уравнения) регрессии.
Квадратичная функция (парабола второго порядка)
Рассмотрим модель регрессии, которая нелинейна относительно включённых в модель независимых переменных Xi, но линейна по оцениваемым параметрам a, b, c. К таким моделям относятся полиномы второго и выше порядков, а также гиперболическая функция.
Квадратичную функцию вида
подбираем таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Чтобы найти минимум функции надо вычислить частные производные по каждому из параметров (а b c) и приравнять их к нулю.
Обозначим сумму квадратов отклонений (Σεi2) через S, тогда сумма наименьших квадратов отклонений примет следующее выражение:
Функция трех переменных (a b c) принимает наименьшее значение в стандартной точке, которая находится из условия:
Приравняем каждую частную производную к нулю:
Формула для расчета квадратичной функции y = ax2 + bx + c
Опытные данные:
| i | Yi | Xi | Xi2 | Xi3 | Xi4 | YiXi | YiXi2 |
| 1 | 4,3 | -1 | 1 | -1 | 1 | -4,3 | 4,30 |
| 2 | 3 | -0,8 | 0,64 | -0,512 | 0,4096 | -2,4 | 1,92 |
| 3 | 2 | ||||||
| 4 | 1,5 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | 0,0625 | 0,75 | 0,375 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | 0,8 | 1,8 | 3,24 | 5,832 | 10,4976 | 1,44 | 2,592 |
| 7 | 2,5 | 2 | 4 | 8 | 16 | 5 | 10 |
| 8 | 2,7 | 2,5 | 6,25 | 15,625 | 39,0625 | 6,75 | 16,875 |
| 9 | 3,5 | 2,6 | 6,76 | 17,576 | 45,6976 | 9,1 | 23,66 |
| 10 | 4,2 | 3,3 | 10,89 | 35,937 | 118,5921 | 13,86 | 45,738 |
| ∑ | 25,5 | 11,9 | 34,03 | 82,583 | 232,3219 | 31,2 | 106,46 |
Для решения системы линейных уравнений и определения параметров, воспользуемся методом Крамера.
Уравнение параболы 2-го порядка принимает следующий вид:
y=0.6531×2-1.3403x+1.9226
По предварительному анализу для данной модели (уравнения регрессии) выполняются первая и вторая предпосылки МНК: остатки распределены случайно, средняя величина случайного отклонения εi (остатков) для всех наблюдений равна нулю (-6,66134E-17 т.е. с точностью до 17 знака после запятой)
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и вычисление определителя матрицы в MS Excel решается с помощью матричных функций.
Смотри также:
Функция СТЕПЕНЬ в Excel для возведения числа в указанную степень
Пример 1. В таблице записана последовательность, которая представляет собой часть геометрической прогрессии. Необходимо определить: знаменатель геометрической прогрессии, значение 15-го ее члена, а также сумму первых 20 членов.
Таблица исходных данных:
Определим знаменатель из условия, что он равен частному от деления любых последующего и предыдущего соседних членов:
Для нахождения 15-го члена используем формулу:
- A2 – ячейка, содержащая значение первого члена;
- СТЕПЕНЬ(C2;15-1) – формула, принимающая на вход значение знаменателя прогрессии, который возводится в степень, равную номеру позиции искомого члена -1.
Для нахождения суммы первых 20 вхождений в последовательности введем формулу:
Примечание: в данном примере использовались известные из математики формулы, а применение функция СТЕПЕНЬ позволило упростить расчеты.
Как использовать метод наименьших квадратов в Excel
Метод наименьших квадратов — это метод, который мы можем использовать для поиска линии регрессии, которая лучше всего соответствует заданному набору данных.
В следующем видео представлено краткое объяснение этого метода:
Чтобы использовать метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии в Excel, мы можем использовать функцию =ЛИНЕЙН() .
В следующем пошаговом примере показано, как использовать эту функцию на практике.
Во-первых, давайте создадим следующий набор данных в Excel:
Шаг 2: Используйте метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии
Мы можем использовать функцию =LINEST(known_ys, known_xs) , чтобы использовать метод наименьших квадратов, чтобы подобрать линию регрессии к этому набору данных:
Как только мы нажмем ENTER , появятся коэффициенты регрессионной модели:
Шаг 3: интерпретируйте результаты
Используя коэффициенты из функции =LINEST() , мы можем написать следующую подобранную линию регрессии:
у = 11,55211 + 1,07949(х)
Мы можем использовать это уравнение для оценки значения y на основе значения x.
Например, если x = 10, то мы оценили бы, что y будет равно 22,347 :
у = 11,55211 + 1,07949(10) = 22,347
Шаг 4: Нанесите результаты на график
Наконец, мы можем использовать следующие шаги для построения набора данных вместе с подобранной линией регрессии:
- Выделите ячейки A2:B16 .
- Щелкните вкладку « Вставка » на верхней ленте. Затем щелкните первый параметр диаграммы под названием « Вставить точечную (X, Y)» или «Пузырьковую диаграмму » в группе «Диаграммы».
- После того, как диаграмма появится, нажмите знак плюс «+» в правом верхнем углу. В раскрывающемся меню установите флажок рядом с линией тренда , чтобы добавить на график подобранную линию регрессии.
Алгебраический метод наименьших квадратов
Под алгебраическим методом наименьших квадратов понимается метод решения систем линейных уравнений
путем минимизации евклидовой нормы
Ax ? b? > inf . (1.2)
Анализ данных эксперимента
Рассмотрим некоторый эксперимент, в ходе которого в моменты времени
производится, например, измерение температуры Q(t). Пусть результаты измерений задаются массивом
Допустим, что условия проведения эксперимента таковы, что измерения проводятся с заведомой погрешностью. В этих случаях закон изменения температуры Q(t) ищут с помощью некоторого полинома
P(t) = + + + … +,
определяя неизвестные коэффициенты, …, из тех соображений, чтобы величина E(, …,), определяемая равенством
гаусс алгебраический exel аппроксимация
принимала минимальное значение. Поскольку минимизируется сумма квадратов, то этот метод называется аппроксимацией данных методом наименьших квадратов.
Если заменить P(t) его выражением, то получим
Поставим задачу определения массива так, чтобы величина была минимальна, т.е. определим массив методом наименьших квадратов. Для этого приравняем частные производные пок нулю:
Если ввести m Ч n матрицу A = (), i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n, где
I = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n,
то выписанное равенство примет вид
Перепишем написанное равенство в терминах операций с матрицами. Имеем по определению умножения матрицы на столбец
Для транспонированной матрицы аналогичное соотношение выглядит так
Введем обозначение: i -ую компоненту вектора Ax будем обозначать В соответствии с выписанными матричными равенствами будем иметь
В матричной форме это равенство перепишется в виде
A T x=A T B (1.3)
Здесь A — прямоугольная mЧ n матрица. Причем в задачах аппроксимации данных, как правило, m > n. Уравнение (1.3) называется нормальным уравнением.
Можно было с самого начала, используя евклидову норму векторов, записать задачу в эквивалентной матричной форме:
Наша цель минимизировать эту функцию по x. Для того чтобы в точке решения достигался минимум, первые производные по x в этой точке должны равняться нулю. Производные данной функции составляют
2A T B + 2A T Ax
и поэтому решение должно удовлетворять системе линейных уравнений
(A T A)x = (A T B).
Эти уравнения называются нормальными уравнениями. Если A — mЧ n матрица, то A>A — n Ч n — матрица, т.е. матрица нормального уравнения всегда квадратная симметричная матрица. Более того, она обладает свойством положительной определенности в том смысле, что (A>Ax, x) = (Ax, Ax) ? 0.
Замечание. Иногда решение уравнения вида (1.3) называют решением систе- мы Ax = В, где A прямоугольная m Ч n (m > n) матрица методом наименьших квадратов.
Задачу наименьших квадратов можно графически интерпретировать как минимизацию вертикальных расстояний от точек данных до модельной кривой (см. рис.1.1). Эта идея основана на предположении, что все ошибки в аппроксимации соответствуют ошибкам в наблюдениях. Если имеются также ошибки в независимых переменных, то может оказаться более уместным минимизировать евклидово расстояние от данных до модели.
Модели статистического прогнозирования (§18)
Метод наименьших квадратов
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:1) подбор вида функции;
2) вычисление параметров функции.
Первая задача не имеет строгого решения. Здесь может помочь опыт и интуиция исследователя, а возможен и «слепой» перебор из конечного числа функций и выбор лучшей из них.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:у = ах + b — линейная функция;
у = ах2 + bх + с — квадратичная функция;
у = а lп(х) + b — логарифмическая функция;
у = аеbх — экспоненциальная функция;
у = ахb — степенная функция.
Квадратичная функция называется в математике полиномом второй степени. Иногда используются полиномы и более высоких степеней, например полином третьей степени имеет вид:у = ах3 + bх2 + сх + d.
Во всех этих формулах х — аргумент, у — значение функции, а, b, с, d — параметры функции, lп(х) — натуральный логарифм, е — константа, основание натурального логарифма.
Если вы выбрали (сознательно или наугад) одну из предлагаемых функций, то далее нужно подобрать параметры (а, Ь, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам. Что значит «располагалась как можно ближе»? Ответить на этот вопрос значит предложить метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом и называется методом наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем: искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений y-координат всех экспериментальных точек от y-координат графика функции была минимальной.
Мы не будем здесь производить подробное математическое описание метода наименьших квадратов. Достаточно того, что вы теперь знаете о существовании такого метода. Он очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты программ
Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую (в том числе и из рассмотренных выше) функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже другой вопрос — вопрос критерия соответствия
На рис. 3.5 изображены три функции, построенные методом наименьших квадратов по приведенным экспериментальным данным.
Эти рисунки получены с помощью табличного процессора Microsoft Excel. График регрессионной модели называется трендом. Английское слово trend можно перевести как «общее направление» или «тенденция».
Уже с первого взгляда хочется отбраковать вариант линейного тренда. График линейной функции — это прямая. Полученная по МНК прямая отражает факт роста заболеваемости от концентрации угарного газа, но по этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды правдоподобны
Теперь пора обратить внимание на надписи, присутствующие на графиках
Во-первых, это записанные в явном виде искомые функции — регрессионные модели:линейная функция: у = 46,361x — 99,881;
экспоненциальная функция: у = 3,4302 е0,7555х;
квадратичная функция: у = 21,845×2 -106,97х + 150,21.
На графиках присутствует еще одна величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R2. В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности. Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 1, то функция точно проходит через табличные значения, если 0, то выбранный вид регрессионной модели предельно неудачен. Чем R2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Из трех выбранных моделей значение R2 наименьшее у линейной. Значит, она самая неудачная (нам и так это было понятно). Значения же R2 у двух других моделей достаточно близки (разница меньше 0,01). Если определить погрешность решения данной задачи как 0,01, по критерию R2 эти модели нельзя разделить. Они одинаково удачны. Здесь могут вступить в силу качественные соображения. Например, если считать, что наиболее существенно влияние концентрации угарного газа проявляется при больших величинах, то, глядя на графики, предпочтение следует отдать квадратичной модели. Она лучше отражает резкий рост заболеваемости при больших концентрациях примеси.
Интересный факт: опыт показывает, что если человеку предложить на данной точечной диаграмме провести «на глаз» прямую так, чтобы точки были равномерно разбросаны вокруг нее, то он проведет линию, достаточно близкую к той, что дает МНК.
Следующая страница Прогнозирование по регрессионной модели
Постановка задачи на конкретном примере
Предположим, имеются два показателя X и Y. Причем Y зависит от X. Так как МНК интересует нас с точки зрения регрессионного анализа (в Excel его методы реализуются с помощью встроенных функций), то стоит сразу же перейти к рассмотрению конкретной задачи.
Итак, пусть X — торговая площадь продовольственного магазина, измеряемая в квадратных метрах, а Y — годовой товарооборот, определяемый в миллионах рублей.
Требуется сделать прогноз, какой товарооборот (Y) будет у магазина, если у него та или иная торговая площадь. Очевидно, что функция Y = f (X) возрастающая, так как гипермаркет продает больше товаров, чем ларек.
Вычисление экспоненты в Эксель
Экспонента является числом Эйлера, возведенным в заданную степень. Само число Эйлера приблизительно равно 2,718281828. Иногда его именуют также числом Непера. Функция экспоненты выглядит следующим образом:
где e – это число Эйлера, а n – степень возведения.
Для вычисления данного показателя в Экселе применяется отдельный оператор – EXP. Кроме того, эту функцию можно отобразить в виде графика. О работе с этими инструментами мы и поговорим далее.
Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции
Для того чтобы рассчитать в Экселе величину экспоненты для значения e в указанной степени, нужно воспользоваться специальным оператором EXP. Его синтаксис является следующим:
То есть, эта формула содержит только один аргумент. Он как раз и представляет собой степень, в которую нужно возвести число Эйлера. Этот аргумент может быть как в виде числового значения, так и принимать вид ссылки на ячейку, содержащую в себе указатель степени.
- Таким образом для того, чтобы рассчитать экспоненту для третьей степени, нам достаточно ввести в строку формул или в любую незаполненную ячейку на листе следующее выражение:
Для выполнения расчета щелкаем по кнопке Enter. Итог выводится в заранее указанную ячейку.
Способ 2: использование Мастера функций
Хотя синтаксис расчета экспоненты предельно прост, некоторые пользователи предпочитают применять Мастер функций. Рассмотрим, как это делается на примере.
- Устанавливаем курсор на ту ячейку, где должен будет выводиться итоговый результат расчета. Щелкаем по значку в виде пиктограммы «Вставить функцию» слева от строки формул.
Открывается окошко Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» производим поиск наименования «EXP». Выделяем это название и жмем на кнопку «OK».
Открывается окно аргументов. Оно имеет только одно поле – «Число». Вбиваем в него цифру, которая будет означать величину степени числа Эйлера. Жмем на кнопку «OK».
После вышеперечисленных действий результат расчета будет показан в той ячейке, которая была выделена в первом пункте данного способа.
Если в качестве аргумента используется ссылка на ячейку, которая содержит показатель степени, то нужно поставить курсор в поле «Число» и просто выделить ту ячейку на листе. Её координаты тут же отобразятся в поле. После этого для расчета результата щелкаем по кнопке «OK».
Способ 3: построение графика
Кроме того, в Экселе существует возможность построить график, взяв за основу результаты, полученные вследствие вычисления экспоненты. Для построения графика на листе должны уже иметься рассчитанные значения экспоненты различных степеней. Произвести их вычисление можно одним из способов, которые описаны выше.
- Выделяем диапазон, в котором представлены экспоненты. Переходим во вкладку «Вставка». На ленте в группе настроек «Диаграммы» нажимаем на кнопку «График». Открывается список графиков. Выбирайте тот тип, который считаете более подходящим для выполнения конкретных задач.
После того, как тип графика выбран, программа построит и отобразит его на том же листе, согласно указанным экспонентам. Далее его можно будет редактировать, как и любую другую диаграмму Экселя.
Как видим, рассчитать экспоненту в Экселе при помощи функции EXP элементарно просто. Эту процедуру легко произвести как в ручном режиме, так и посредством Мастера функций. Кроме того, программа предоставляет инструменты для построения графика на основе этих расчетов.
Excel работает за вас
Оценка точности
При любой аппроксимации особую важность приобретает оценка ее точности. Обозначим через ei разность (отклонение) между функциональными и экспериментальными значениями для точки xi, т
е. ei = yi- f (xi).
Очевидно, что для оценки точности аппроксимации можно использовать сумму отклонений, т. е. при выборе прямой для приближенного представления зависимости X от Y нужно отдавать предпочтение той, у которой наименьшее значение суммы ei во всех рассматриваемых точках. Однако, не все так просто, так как наряду с положительными отклонениями практически будут присутствовать и отрицательные.
Решить вопрос можно, используя модули отклонений или их квадраты. Последний метод получил наиболее широкое распространение. Он используется во многих областях, включая регрессионный анализ (в Excel его реализация осуществляется с помощью двух встроенных функций), и давно доказал свою эффективность.
Примеры использования функции EXP в Excel
Пример 1. Вкладчику банка предложили два варианта вклада:
- Вклад с годовой ставкой 16% и ежемесячной капитализацией.
- Вклад с непрерывной капитализацией (число периодов капитализации – бесконечное множество за время действия депозитного договора) с годовой ставкой 16%.
Какое предложение является более выгодным? Сумма вклада – 50000 рублей, срок действия договора – 5 лет.
Вид исходной таблицы данных:
Формула для расчета будущей стоимости вклада для первого варианта депозитного договора:
Во втором случае капитализация происходит непрерывно, поэтому можно воспользоваться следующей функцией:
- C3 – годовая ставка;
- C5 – срок действия договора;
- C6 – начальная сумма вклада.
Вариант с непрерывным ростом капитализации является более выгодным.