S curve в excel - как создать график s curve в excel?

Содержание

Слайд 1

Алгебраические кривые в полярной системе координат и их применение в природе и технике

Выполнили ученики 8 В класса
Кременевский А., Тимофеев В., Шестопалов А.
Научный руководитель: Е.П.Ахонен
Слайд 2

Цель: познакомиться с кривыми, не изучаемыми в школьном курсе алгебры,найти для них примеры в природе и технике.
Слайд 3

Локон Аньези

плоская кривая, геометрическое место точек M,
где OA — диаметр окружности,
BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA.

Мария Гаэтана Аньези – автор кривой
Слайд 4

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Слайд 5

Логарифми́ческая спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».
В отличие от Архимедовой спирали, в логарифмической спирали каждый следующий виток больше предыдущего.
Слайд 6

Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле.
Цепная линия схожа с параболой – линией, которая изучалась нами в ходе школьной программы.
Изучением цепной лини занимался
Гюйгенс Христиан.
Слайд 7

Декартов лист

плоская кривая третьего порядка
Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

x3 + y3 = 3axy
Слайд 8

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Слайд 9

Клофоида (или Клотоида) также имеет другое имя – Спираль Корню.
Она названа так в честь открывшего ее французского физика XIX века
А. Корню. У этой спирали кривизна возрастает пропорционально пройденному пути.
Слайд 10

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца
Слайд 11

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения.
Слайд 12

Посмотреть все слайды

Как построить простой график

Для начала нужно создать какую-нибудь таблицу. Для примера будем исследовать зависимость затрат в разные дни отпуска.

Дальше нужно выполнить следующие действия.

Выделите всю таблицу целиком (включая шапку).

Перейдите на вкладку «Вставка». Кликните на иконку «Графики» в разделе «Диаграммы». Выберите тип «Линия».

В результате этого на листе появится простой график.

Благодаря этому графику мы можем увидеть, в какие дни были самые высокие затраты, а когда, наоборот, – минимальные. Кроме этого, по оси Y мы видим конкретные цифры. Диапазон проставляется автоматически, в зависимости от данных в таблице.

Графики зависимости

Данные одного столбца (строки) зависят от данных другого столбца (строки).

Построить график зависимости одного столбца от другого в Excel можно так:

Условия: А = f (E); В = f (E); С = f (E); D = f (E).

Выбираем тип диаграммы. Точечная. С гладкими кривыми и маркерами.

Выбор данных – «Добавить». Имя ряда – А. Значения Х – значения А. Значения У – значения Е. Снова «Добавить». Имя ряда – В. Значения Х – данные в столбце В. Значения У – данные в столбце Е. И по такому принципу всю таблицу.

Скачать все примеры графиков

Точно так же можно строить кольцевые и линейчатые диаграммы, гистограммы, пузырьковые, биржевые и т.д. Возможности Excel разнообразны. Вполне достаточно, чтобы наглядно изобразить разные типы данных.

Чуть ранее мы уже писали, как красиво оформить нулевые/пустые значения на графике, чтобы диаграмма не получалась «зубчатой». Помимо этого, для лучшей визуализации информации иногда нужно сделать сглаживание графика в Excel. Как это сделать? Читайте ниже

Сразу хотел бы написать где можно почитать, как создавать графики — тут и тут. Далее разберем как сделать линию графика чуть более красивее.

Сглаживание графика в Excel. Как быстро сделать?

Часто соединения узлов графика выглядят некрасиво, если линии на графике расположены под острыми углами. Как сделать плавную линию? Правой кнопкой мыши нажимаем на сам график — выплывает окно —

Формат ряда данных (см. первую картинку) выбираем — пункт Тип линии -ставим галочку — Сглаженная линия

Теперь линия сгладилась.

Экспоненциальное сглаживание в Excel

В Excel можно подключить пакет анализа для сглаживания самих данных.

Такое сглаживание это метод применяемый для сглаживания временных рядом — статья википедии

Зайдите в меню — Параметры Excel — Надстройки — Пакет анализа (в правом окне) и в самом низу нажимайте Перейти

В открывшемся окне находим Экспоненциальное сглаживание.

Как найти прямую приближенных значений

Всегда можно построить линию приближенных значений — линию тренда — она покажет куда идет динамика графика, какое направление имеют события графика

Поделитесь нашей статьей в ваших соцсетях:

(Visited 15 933 times, 8 visits today)

Большое количество информации, как правило, легче всего анализировать при помощи диаграмм. Особенно, если речь идет про какой-нибудь отчет или презентацию. Но не все знают, как построить график в Excel по данным таблицы. В данной статье мы рассмотрим различные методы, как можно сделать это.

Кривизна

То есть кривая, параметризованная в соответствии с криволинейной абсциссой и ее единичным касательным вектором. Рассмотрим функцию . Тогда функция называется кривизной кривой.
β(s){\ displaystyle \ beta (s)}β′(s){\ displaystyle \ beta ‘(s)}kS⟶р,s⟼k(s)знак равно‖β″(s)‖{\ Displaystyle к: S \ longrightarrow \ mathbb {R}, s \ longmapsto k (s) = \ | \ beta » (s) \ |}k(s)≥{\ Displaystyle к (ы) \ geq 0}

Если кривая представлена явно, ее кривизна равна:

kзнак равнож″(Икс)(1+ж′2)32{\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {f » (x)} {\ left (1 + f ‘^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}.

С другой стороны, для кривой, представленной неявным уравнением, кривизна оценивается по формуле:

kзнак равноFу2⋅FИксИкс-2FИкс⋅Fу⋅FИксу+FИкс2⋅Fуу(FИкс2+Fу2)32{\ displaystyle k = {\ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} -2F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ {yy}} {\ left (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}.

Точки пересечения графиков в Excel

Как найти точки пересечения графиков в Excel? Например, есть графики, отображающие несколько показателей. Далеко не всегда они будут пересекаться непосредственно на поле диаграммы. Но пользователю нужно показать те значения, в которых линии рассматриваемых явлений пересекаются. Рассмотрим на примере.

Строим графики с точками пересечений

Имеются две функции, по которым нужно построить графики:

Выделяем диапазоны данных, на вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» подбираем нужный тип графика. Как:

Нужно найти точки пересечения графиков со значением Х, поэтому столбчатые, круговые, пузырьковые и т.п. диаграммы не выбираем. Это должны быть прямые линии.
Для поиска точек пересечения необходима ось Х. Не условная, на которой невозможно задать другое значение. Должна быть возможность выбирать промежуточные линии между периодами. Обычные графики не подходят. У них горизонтальная ось – общая для всех рядов. Периоды фиксированы. И манипулировать можно только с ними. Выберем точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами.

Для данного типа диаграммы между основными периодами 0, 2, 4, 6 и т.д. можно использовать и промежуточные. Например, 2,5.

Находим точку пересечения графиков в Excel

В табличном редакторе Excel нет встроенной функции для решения подобной задачи. Линии построенных графиков не пересекаются (см. рисунок), поэтому даже визуально точку пересечения найти нельзя. Ищем выход.

Первый способ. Найти общие значения в рядах данных для указанных функций.

В таблице с данными таковых значений пока нет. Так как мы решали уравнения с помощью формул в полуавтоматическом режиме, с помощью маркера автозаполнения продолжим ряды данных.

Значения Y одинаковые при Х = 4. Следовательно, точка пересечения двух графиков имеет координаты 4, 5.

Изменим график, добавив новые данные. Получим две пересекающиеся линии.

Второй способ. Применение для решения уравнений специального инструмента «Поиск решения». Кнопка вызова инструмента должна быть на вкладке «Данные». Если нет, нужно добавить из «Надстроек Excel».

Преобразуем уравнения таким образом, чтобы неизвестные были в одной части: y – 1,5 х = -1; y – х = 1. Далее для неизвестных х и y назначим ячейки в Excel. Перепишем уравнения, используя ссылки на эти ячейки.

Вызываем меню «Поиск решения» — заполняем условия, необходимые для решения уравнений.

Нажимаем «Выполнить» — инструмент предлагает решение уравнений.

Найденные значения для х и y совпадают с предыдущим решением с помощью составления рядов данных.

Точки пересечения для трех показателей

Существует три показателя, которые измерялись во времени.

По условию задачи показатель В имеет постоянную величину на протяжении всех периодов. Это некий норматив. Показатель А зависит от показателя С. Он то выше, то ниже норматива. Строим графики (точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами).

Точки пересечения имеются только у показателей А и В. Но их точные координаты нужно еще определить. Усложним задачу – найдем точки пересечения показателя C с показателями А и В. То есть в какие временные периоды и при каких значениях показателя А линия показателя С пересекает линию норматива.

Точек у нас будет две. Их рассчитаем математическим путем. Сначала найдем точки пересечения показателя А с показателем В:

На рисунке видно, какие значения использовались для расчета. По такой же логике находим значение х для второй точки.

Теперь рассчитаем точки, найденных значений по оси Х с показателем С. Используем близкие формулы:

На основе новых данных построим точечные диаграммы на том же поле (где наши графики).

Получается такой рисунок:

Для большей информативности и эстетики восприятия добавим пунктирные линии. Их координаты:

Добавим подписи данных – значения показателя C, при которых он пересечет линию норматива.

Можно форматировать графики по своему усмотрению – делать их более выразительными и наглядными.

5 типов прикладных математических кривых

Вот пять типов прикладных математических кривых:

1. Логистическая кривая

Логистическая кривая имеет отчетливую S-образную форму. Экономисты чаще всего используют его для изучения того, как новые технологии развиваются на протяжении их жизненного цикла. Начальные стадии претерпевают медленный рост только для того, чтобы испытать экспоненциальный рост. После этого экспоненциального роста снова преобладает медленный рост.

2. Кривая блеска

Кривая блеска показывает, насколько интенсивен свет небесного объекта с точки зрения времени. Кривые блеска могут быть периодическими или апериодическими, в зависимости от конкретного небесного объекта, который изучает математик. Эти кривые могут дать полезную информацию о физических процессах, происходящих с небесными телами.

3. Кривая напряжения-деформации

Кривая напряжение-деформация показывает взаимосвязь между напряжением и деформацией в области материаловедения. Математики-прикладники создают кривую, оказывая давление на образец материала и записывая результаты. Они получают такую информацию, как предел прочности материала на растяжение и предел текучести.

4. Изгиб ванны

Изгиб ванны имеет две открытые стороны с более плоским дном. Инженеры создают их для изучения моделирования износа. Эти кривые состоят из трех частей: уменьшающейся, постоянной и возрастающей частоты отказов.

5. Кривая роста

Кривая роста — это модель, в которой используется несколько линейных кривых. Это распространено в статистике, и профессионалы используют его для анализа результатов клинических испытаний и опросов. Математики также могут использовать его для изучения сельскохозяйственных данных и прогнозирования развития рынка с течением времени.

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.

Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$ P_7(5)=C_ ^5 \cdot 0,75^5 \cdot 0,25^2 = 21\cdot 0,75^5 \cdot 0,25^2= 0,31146. $$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$ P_7(6)+P_7(7)=C_ ^6 \cdot 0,75^6 \cdot 0,25^1+C_ ^7 \cdot 0,75^7 \cdot 0,25^0= \\ = 7\cdot 0,75^6 \cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$

А вот это решение в файле эксель:

Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье: 1. Ровно 2 мальчика 2. От 4 до 5 мальчиков 3. Не более 2 мальчиков 4. Не менее 7 мальчиков 5. Хотя бы один мальчик Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_ (k)=C_ ^k \cdot 0,5^k\cdot 0,5^ =C_ ^k \cdot 0,5^ $$ Приступим к вычислениям:

$$1. P_ (2)=C_ ^2 \cdot 0,5^ = \frac \cdot 0,5^ \approx 0,044.$$ $$2. P_ (4)+P_ (5)=C_ ^4 \cdot 0,5^ + C_ ^5 \cdot 0,5^ =\left( \frac + \frac \right)\cdot 0,5^ \approx 0,451.$$ $$3. P_ (0)+P_ (1)+P_ (2)=C_ ^0 \cdot 0,5^ + C_ ^1 \cdot 0,5^ + C_ ^2 \cdot 0,5^ =\left( 1+10+ \frac \right)\cdot 0,5^ \approx 0,055.$$ $$4. P_ (7)+P_ (8)+P_ (9)+P_ (10)=\\ = C_ ^7 \cdot 0,5^ + C_ ^8 \cdot 0,5^ + C_ ^9 \cdot 0,5^ + C_ ^10 \cdot 0,5^ =\\=\left(\frac + \frac + 10 +1\right)\cdot 0,5^ \approx 0,172.$$ $$5. P_ (\ge 1)=1-P_ (0)=1-C_ ^0 \cdot 0,5^ = 1- 0,5^ \approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$ 10 \cdot 0,5 — 0,5 \le m \le 10 \cdot 0,5 + 0,5, \\ 4,5 \le m \le 5,5,\\ m=5. $$

Наивероятнейшее число — это 5 мальчиков и соответственно 5 девочек (что очевидно и по здравому смыслу, раз их рождения вероятность одинакова).

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых (вероятность успеха) равна $p$, вероятность ненаступления (неуспеха) — соответственно $q=1-p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз в $n$ опытах.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ =C_n^k \cdot p^k \cdot q^ . \qquad(1) $$

Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:

Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Если эти условия выполнены — мы в условиях схемы Бернулли и можем применять одноименную формулу. Если нет — ищем дальше, ведь классов задач в теории вероятностей существенно больше (и о решении некоторых написано тут): классическая и геометрическая вероятность, формула полной вероятности, сложение и умножение вероятностей, условная вероятность и т.д.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.

Какие бывают формы кривых?

Кривые могут принимать различные формы, в том числе:

Простая: простая кривая — это кривая, которая никогда не пересекает сама себя, но меняет направление.
Непростая: непростая кривая — это кривая, которая пересекает сама себя при изменении своего курса.
Открытая: незамкнутая кривая не окружает область и имеет две отдельные конечные точки.
Замкнутая: Замкнутая кривая образует определенную область и не имеет конечных точек.
Вниз: Нисходящая кривая — это кривая, которая поворачивается вниз.
Вверх: восходящая кривая — это кривая, которая поворачивает вверх.
Изогнутая линия: Изогнутая линия — это любая линия, кривизна которой больше нуля.

ρ Полларда

целые , , и , такие, что

псевдослучайную последовательность пар последовательность точек тоже циклическаямы найдём пару и другую отдельную пару , такие, что

Черепаха и заяц

функции пересчёта паралгоритм черепахи и зайцаУ нас есть кривая и точки и . Точки принадлежат циклической подгруппе с порядком 5. Мы обходим последовательность пар с разными скоростями, пока не находим две разные пары и , дающих одну точку. В этом случае мы нашли пары и , что позволяет нам вычислить логарифм как . И на самом деле, у нас получилось .Черепахасчитывает каждую точку, одну за другойзаяцпропускает точку на каждом шаге пространствавременная сложность равна )

Кольцевая диаграмма

Смысл кольцевой диаграммы, как у круговой — показать распределение долей категорий в общей сумме.

Построение кольцевой диаграммы практически ничем не отличается от обычной круговой диаграммы. Нужно также выделить исходную таблицу, и далее в меню Вставка — Круговая диаграмма — Кольцевая.

Построится простая кольцевая диаграмма.

Ее также можно обогатить данными, как в примерах выше, или улучшить ее внешний вид.

Но есть одна фишка, которая отличает кольцевую диаграмму от круговой. В кольцевой диаграмме можно показывать несколько рядов данных.

Рассмотрим пример кольцевой диаграммы, в которой покажем, как изменились доли каждой категории по отношению к предыдущего периоду. Для этого добавим еще один столбец с данными за предыдущий период, отсортируем всю таблицу по значениям сумм текущего периода и построим кольцевую диаграмму.

Для внешнего ряда добавим подписи данных с названием категории и долями, а для внутреннего только с долям, чтобы не загромождать картинку.

На кольцевой диаграмме с двумя кольцами наглядно видно изменение соотношения долей категорий.

Можно добавлять несколько колец, однако убедитесь, что на вашей диаграмме можно хоть что-то понять в этом случае.

7 типов кривых в экономике

Вот семь типов кривых, которые распространены в экономике и бизнесе:

1. Кривая контракта

Кривая контракта — это обычная кривая в микроэкономике. Он изучает, насколько эффективной может быть сделка между двумя людьми. Он учитывает функции полезности каждого торговца и комбинацию количества товаров, которыми они владеют.

2. Кривая Хабберта

Кривая Хабберта показывает, насколько быстро компания или другая организация может производить ресурс с течением времени. Эти кривые являются обычными инструментами, которые экономисты используют для изучения потенциала сырой нефти и других ископаемых видов топлива. Она отличается от похожей на нее функции Гаусса тем, что не так быстро приближается к нулю.

3. J-кривая

J-кривая принимает J-образную форму, сначала падая, а затем резко поднимаясь из своей начальной точки. Экономисты часто используют эту кривую для отслеживания обесценивания или обесценивания денег. Они также могут использовать асимметричную версию J-кривой для изучения взаимосвязи между торговым балансом и изменениями обменного курса страны.

4. Кривая безразличия

Кривые безразличия обычно используются в экономике для отображения уровня безразличия, которое покупатель испытывает при выборе двух товаров. Кривая безразличия всегда имеет отрицательный наклон и выпуклую форму. Результаты этой кривой могут помочь маркетологам решить, каким продуктам отдать предпочтение.

5. Кривая спроса

Кривая спроса показывает, как цена товара соотносится с количеством этого товара, на которое спросят покупатели. Экономисты могут построить кривую спроса для всех покупателей на конкретном рынке или для одного потребителя. Экономисты строят кривые спроса, используя исторические цены, предполагаемые доходы потребителей и другие факторы.

6. Кривая предложения

Кривая предложения показывает, как цена товара соотносится с количеством товара, которое может предложить продавец. Цена продукта отображается на оси Y, а количество продукта — на оси X. Экономисты часто используют кривую предложения вместе с кривой спроса.

7. Кривая Лаффера

Кривая Лаффера показывает, как налоговые ставки влияют на налоговые поступления правительства. Это теоретическая кривая, так как экономисты не могут договориться о ее точной форме. Одна из идей, которую подразумевает эта кривая, состоит в том, что повышение налоговых ставок до определенного уровня нецелесообразно для увеличения налоговых поступлений.

Как сделать 2 переменных графика в Excel

Создайте график с двумя переменными в Microsoft Excel с помощью встроенных инструментов для работы с электронными таблицами и диаграммами. Два переменных графика демонстрируют связь между двумя наборами числовых данных .

Для оценки уровня неравенства между различными слоями населения общества часто используют кривую Лоренца и производный от неё показатель – коэффициент Джинни. С помощью них можно определить, насколько велик социальный разрыв в обществе между самыми богатыми и наиболее бедными слоями населения. С помощью инструментов приложения Excel можно значительно облегчить процедуру построения кривой Лоренца. Давайте, разберемся, как в среде Эксель это можно осуществить на практике.

Формулы Френе

(Достаточно регулярная) кривая пространства имеет во всех своих точках систему отсчета, называемую трехгранником Френе , заданную тройкой касательных , нормальных и бинормальных векторов . Такая кривая является плоской тогда и только тогда, когда вектор бинормали всегда равен нулю.

Пусть — кривая, параметризованная по криволинейной оси абсцисс. Единичный вектор касательной определяется:
β(s)знак равно(ϕ(s),ψ(s)){\ Displaystyle \ бета (s) = (\ phi (s), \ psi (s))}

Т(s)знак равноβ′(s)знак равно(ϕ′(s),ψ′(s)).{\ Displaystyle T (s) = \ beta ‘(s) = (\ phi’ (s), \ psi ‘(s)).}

Нормальный единичный вектор определяется:

НЕТ(s)знак равноя⋅Т(s)знак равно(-ψ′(s),ϕ′(s)),{\ Displaystyle N (s) = я \ CDOT T (s) = (- \ psi ‘(s), \ phi’ (s)),}

где i — такое комплексное число, что . Благодаря определению кривизны нормальному единичному вектору можно придать другую форму:
я2знак равно-1{\ displaystyle i ^ {2} = — 1}

НЕТ(s)знак равноТ′(s)‖Т′(s)‖знак равноТ′(s)k(s).{\ displaystyle N (s) = {\ frac {T ‘(s)} {\ | T’ (s) \ |}} = {\ frac {T ‘(s)} {k (s)}}.}

Покажем , что вектор ортогонален Т и , следовательно , параллельно N .
Т′{\ displaystyle T ‘}

Наконец, формулы Френе и кривизна плоской кривой, независимо от ее настройки , следующие:
α(т)знак равно(ϕ(т),ψ(т)){\ Displaystyle \ альфа (т) = (\ фи (т), \ пси (т))}

Т(т)знак равноα′(т)‖α′(т)‖{\ Displaystyle Т (т) = {\ гидроразрыва {\ альфа ‘(т)} {\ | \ альфа’ (т) \ |}}}

НЕТ(т)знак равноя⋅α′(т)‖α′(т)‖{\ Displaystyle N (T) = {\ гидроразрыва {я \ cdot \ alpha ‘(t)} {\ | \ alpha’ (t) \ |}}}

k(т)знак равноα″(т)⋅(яα′(т))‖α′(т)‖3{\ Displaystyle к (т) = {\ гидроразрыва {\ альфа » (т) \ cdot (я \ альфа ‘(т))} {\ | \ альфа’ (т) \ | ^ {3}}}}

Способ построения астроиды

Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною R, концы которых лежат на этих прямых. На рисунке изображено 12 таких отрезков (включая отрезки самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше проведем отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь огибающую всех этих отрезков. Этой огибающей будет астроида.

В работе приведены примеры задач с различными видами кривых, определяемых различными уравнениями или удовлетворяющих некоторому математическому условию. В частности циклоидальные кривые, способы их задания, различные способы построения, свойства этих кривых.

Свойства циклоидальных кривых очень часто используется в механике в зубчатых передачах, что существенно повышает прочность деталей в механизмах.

Список литературы

Г.Н. Берман «Циклоида».
Квант «Циклоида».
Энциклопедия для детей. Математика. Том 11.
Энциклопедия юного математика.
А.И. Маркушевич «Замечательные кривые».

Трансцендентные кривые

Плоской трансцендентной кривой (от латинского transcendo – переступать) является линия, которую невозможно описать уравнением, которое прямо связывает координаты х, у каждой точки М. Как правило, трансцендентные кривые задаются системой параметрических уравнений(см. с. 21).

Среди большого разнообразия трансцендентных кривых выделяют такие.

Квадратриса Динострата (от латинского quadro – площадь) – траектория точки М пересечения двух прямых h, r, первая из которых равномерно опускается по вертикали, вторая – равномерно вращается вокруг неподвижной точки О (рис. 3.30 а).

Квадратриса Динострата

Для построения квадратрисы (рис. 3.30 б) четверть окружности а делится на N равных частей (например, N = 6) точками … Из центра О окружности проводятся отрезки , … Радиус делится на N равных частей точками , … Точки 1, 2, … пересечения отрезков … с горизонтальными лучами, проведенными из точек , …, являются точками квадратрисы.

Трактриса (от латинского trahere – волочить) – плоская кривая, любая точка М которой удалена от оси х в направлении касательной (см. п. 3.3) на одинаковое расстояние а (рис. 3.31 а).

Трактриса

Первые упоминания о квадратрисе принадлежат Паппу Александрийскому и Ямвлоху и датируются концом ІІІ ст. Кривая открыта софистом Гиппием из Элиды в V ст. до н. э. и использована им для решения задачи про трисекцию угла – деление угла на три равные части. Динострат в конце ІV ст. до н. э. с помощью квадратрисы решал задачу про квадратуру круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Трактриса изобретена в 1670 г. К. Перро. Свойства трактрисы исследовали Исаак Ньютон, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.

П. Бугер решил задачу Леонардо да Винчи на определение формы верёвки, которой тащат предмет по горизонтальной поверхности, и установил, что эта линия является трактрисой.

Трактриса также является кривой погони – решением такой задачи. Пусть точка А движется равномерно прямолинейно. Необходимо найти линию, по которой должна двигаться точка М так, чтобы прямая АМ была к ней касательной (рис. 3.31 а).

Для приближённого построения трактрисы (рис. 3.31 б) на оси у откладывается отрезок заданной длины а. Вдоль оси х последовательно откладываются одинаковые отрезки …, длина которых значительно меньше величины а. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 1 её пересечения с осью у. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 2 её пересечения с отрезком Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 3 её пересечения с отрезком … Трактриса приближённо строится по точкам О, 1, 2, …

Цепная линия – линия, форму которой приобретает цепь с закреплёнными концами (рис. 3.32 а).

Применение и проявления цепной линии

Клод Перро (Claude Perrault) – французский инженер, механик, архитектор, врач и математик. Брат известного сказочника Шарля Перро. Один из первых членов Французской академии наук. Автор Парижской обсерватории, Триумфальной арки, колоннады восточной части Лувра.

Пьер Бугер (Pierre Bouguér) – французский физик и астроном, основатель фотометрии. Известны его труды по теории кораблестроения, геодезии.

Имя Бугера внесено в список семидесяти двух величайших учёных Франции.

Тригонометрические кривые

К тригонометрическим кривым относятся плоские кривые линии, которые описываются тригонометрическими уравнениями у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, или уравнениями на их основе. Поскольку все тригонометрические функции можно выразить через функцию, например, синуса, рассмотрим только синусоиду.

Синусоида – траектория точки М, которая равномерно движется по окружности радиусом а, которое скользит без качения по плоской поверхности.

Для построения синусоиды (рис. 3.16) строится окружность радиусом а. Последняя делится на равное количество N частей (как правило, N = 12). Из крайней правой точки 1 окружности строится горизонтальный отрезок длина которого равна длине окружности 2πа. Отрезок делится на N равных частей. Из точек 1, 2, …, N окружности и отрезка проводятся вертикальные и горизонтальные линии до их взаимного пересечения. Точки 1, 2, … пересечения этих линий является точками искомой синусоиды.

Синусоида

Первые исследования синусоиды начались в Древней Индии. Сначала эта кривая называлась «арха-джива», что означает «полу тетива». Позже слово трансформировалось в «джайб» – «впадина». Европейский термин «sinus» был основан австрийским математиком Георгом фон Пойербахом (1423 – 1461), который составил таблицу значений этой функции. Значительный вклад в развитие тригонометрических функций внёс выдающийся французский математик Ж. Роберваль. Он впервые в 1634 г. построил синусоиду.

Как добавить линию на уже существующую диаграмму

Иногда бывают случаи, когда необходимо добавить ряд, а не строить что-то с нуля. То есть, у нас уже есть готовый график по столбцу «Основные затраты» и вдруг мы захотели проанализировать еще и дополнительные расходы.

Сделайте правый клик мыши по пустой области диаграммы. В появившемся контекстном меню выберете пункт «Выбрать данные».

После этого вы увидите окно «Выбора источника данных». Нас интересует поле «Диапазон данных для диаграммы».

Кликните один раз в это поле для ввода. Затем обычным образом выделите всю таблицу целиком.

Как только вы отпустите палец, данные вставятся автоматически. Если этого не произошло, просто кликните на эту кнопку.

Затем нажмите на кнопку «OK».

В результате этого появится новая линия.

Дополнительные вкладки на панели инструментов

Обратите внимание на то, что каждый раз, когда вы начинаете работать с диаграммой, наверху появляются дополнительные вкладки. Рассмотрим их более внимательно

Конструктор

В этом разделе вы сможете:

добавить элемент;
выбрать экспресс-макет;
изменить цвет;
указать стиль (при наведении график будет менять внешний вид для предварительного просмотра);
выбрать данные;
изменить тип;
переместить объект.

Формат

Содержимое данного раздела постоянно меняется. Всё зависит от того, с каким объектом (элементом) вы работаете в данный момент.

Используя данную вкладку, вы сможете сделать что угодно с внешним видом диаграммы.