Применение excel vba для расчета определенных интегралов • квадратурные формулы

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида , , n>0 a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции. б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени , . 2. Интегралы вида , , где n – целое. Необходимо использовать формулы 3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dxа) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное. б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени , . 4. Интегралы вида 3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dxа) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное. б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени , . 4. Интегралы вида Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы. 5. , ,

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word. Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.

Примеры 1. Вычислить интеграл . Делаем замену cos(x)=t. Тогда ∫cos4x·sin3xdx = 2. Вычислить интеграл . Делая замену sin x=t, получаем

3. Найти интеграл . Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , , и поэтому

Ошибка интегрирования

Формула для оценки ошибки интегрирования основана на вычислении 4-й (!) производной, что достаточно трудоемко и совсем не удобно для реализации в MS EXCEL.

После вычисления 4-й производной подинтегральной функции нужно найти ее максимум в интервале интегрирования, а затем подставить в вышеуказанную формулу. Понятно, что для полиномов не выше третьего порядка оценка будет равна 0, а значит точность метода Симпсона для таких функций выше чем Метод трапеций.

Для более сложных функций нахождение 4-й производной будет трудоемко, но к счастью есть много сайтов, которые помогут в этом вопросе, например https://www.derivative-calculator.net/

Примеры интегрирования тангенса и котангенса

Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x). Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенсаЗдесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.Таким образом можем записать обобщенную формулу для интегралаtan(k*x)Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)). По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5.Для тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины углаПо индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3)

Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного углаВычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциалТаким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3Интегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройкуПри нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постояннуюЗная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.

Интегрирование в MS EXCEL. Метод трапеций

history 20 ноября 2022 г.

Группы статей

file_download Файл примера

Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.

В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).

Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически. Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).

Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).

Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i) прямыми линиями.

Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).

Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы. 2+6*B19+1.

Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.

В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).

На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.

Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.

К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.

В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.

Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.

Вычисление интегралов в Excel

Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.

Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.

Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.

Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.

Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.

Признак (значение функции) – высота фигуры.

Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.

Функция – описание зависимости высоты от ширины.

Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.

2.2. Методы Ньютона-Котеса

2.2.1. Метод прямоугольников

Одним из простейших методов численного
интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину
частичного отрезка .
Тогда значение интеграла на частичном отрезке:

(2.6)

Подставив это выражение в (2.4), получим составную формулу средних прямоугольников:

(2.7)

Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.2.2(a). Из рисунка видно, что площадь
криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление
определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.

Формулу (2.7) можно представить в ином виде:

или (2.8)

Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников
представлен на рис.2.2(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе
средних прямоугольников.

а) средние прямоугольники	б) левые прямоугольники	в) правые прямоугольники
Рис.2.2. Интегрирование методом прямоугольников

2.2.2. Метод трапеций

Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:

(2.9)

то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:

(2.10)

Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования примет вид:

(2.11)

Графически метод трапеций представлен на рис.2.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника,
составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой,
проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10.

Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.

Рис.2.3. Интегрирование методом методом трапеций

2.2.3. Метод Симпсона

В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки , , , то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.12)

Проведя интегрирование, получим:

(2.13)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На
отрезке формула
Симпсона примет вид:

(2.14)

Если разбить отрезок интегрирования на четное количество 2N
равных частей с шагом ,
то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке и переписать выражения (2.12-2.14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:

(2.15)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис.2.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.

Рис.2.4. Метод Симпсона

2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса

Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.
Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого
аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами
Ньютона-Котеса.

В выражении коэффициенты правильнее называть весовыми коэффициентами. Величину ,
определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком.

Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:

(2.16)

где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков, , , .

Из выражения (2.16) легко можно получить формулу прямоугольников для ,
формулу трапеций для , и формулу Симпсона для .
Коэффициенты могут быть заданы в табличной форме (таблица.2.1).

n
1	1
1	2	1	1
2	6	1	4	1
3	8	1	3	3	1
4	90	7	32	12	32	7
5	288	19	75	50	50	75	19

Таблица 2.1. Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса

Применение знаний, формирование умений и навыков

Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»

Состав задания:

Ознакомиться с теоретической частью задания;
Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую: – постановку задачи; – алгоритм расчета; – таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции; – результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание:

Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке по формуле трапеций, разбивая отрезок на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
Представьте графически поставленную задачу.

Постановка задачи:

Дано: f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке

Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.

Таблица Исходная информация
Отрезок	Функция f(x)
a	b	Аналитическая запись	Представление в Excel
4	1/(1+x4)1/2	=СТЕПЕНЬ((1+СТЕПЕНЬ(B16;4));-1/2)

Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel

Расчет площади
xi	f(xi)	Коэффициенты формулы трапеций	Вычисление Ci*f(xi)
N=2	N=4	N=8	N=2	N=4	N=8
1,000	0,5	0,5	0,5	0,500	0,500	0,500
0,5	0,970	1	0,000	0,000	0,970
1	0,707	1	1	0,000	0,707	0,707
1,5	0,406		1	0,000	0,000	0,406
2	0,243	1	1	1	0,243	0,243	0,243
2,5	0,158	1	0,000	0,000	0,158
3	0,110	1	1	0,000	0,110	0,110
3,5	0,081	1	0,000	0,000	0,081
4	0,062	0,5	0,5	0,5	0,031	0,031	0,031
Сумма	0,774	1,591	3,207
Значения интеграла
Количество узлов	N=2	N=4	N=8
S	1,55кв.мм	1,59кв.мм	1,60кв.мм
Погрешность	0,028	0,008

Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.

Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:

Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.

Представьте графически поставленную задачу.

N	отрезок	Функция f(x)
1		1/(1+x²)1/2
2		5×4+2x²-х
3		ех/(х+5) + x³/(х+4)
4		(4+x³)1/2
5		1/(5×4+2x²+2)
6		(х4/(1+x4)1/2)1/2
7		6/(1+x²)1/2
8		5×4+2x²-х
9		(х5/(1+x4)1/2)1/2
10		12/(5x²+x+6)
11		е1/(х+5) + 1/(х+4)
12		(х+x5)1/2
13		1/(1+x4)1/2
14		2+(х/(1+x4)1/2)

На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.

Распространенные примеры интегрирования косинуса

Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x). Решение: По формуле интегрируем косинус

Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x). Решение: Выполняем интегрирование

Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x). Решение: Вычисляем неопределенный интеграл

Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5). Решение: Записываем неопределенный интеграл

Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6).Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.

Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от до 45 градусов.Решение: Находим указанный интеграл от косинуса

Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от до 60 градусов.Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования

Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1.Решение: Находим первоначальнуюС наложенного условия на первоначальную вычисляем постояннуюsin(Pi/6)+C=1; C=1-sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.Подставляем полученную постоянную в уравнение На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от до 2*Pi.По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.Находим определенный интеграл в указанных пределах Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале Таким образом площадь необходимо искать на трех промежуткахОсь абсцисс можем записать функцией y = 0. Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy). Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределахТаким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяютсяНа этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций видаМы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “Интегрирование функций“.

Практика вычисления интегралов в Excel.

Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.

Определение тепловой энергии.

Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.

Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Многим, я думаю, это будет интересно.

Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.

Заполним таблицу.

1. В столбец B вписываем время проведения измерения τ_i.

2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t_2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.

3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t_1i, поступающего на вход коллекторов.

4. В столбце E вычисляем разности температур dt_i на выходе и входе

dt_i=t_2i-t_1i

5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки N_iв КВт в каждый из моментов времени в столбце F

N_i=c*G*dt_i

На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.

Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.

6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день

Q_i=(N_i+1+N_i)*(τ_i+1-τ_i)/2

Q=ΣQ_i=10,395 КВт*час

7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона

Q_j=(N_i+4*N_i+1+N_i+2)*(τ_i+1-τ_i)/3

Q=ΣQ_j=10,395 КВт*час

Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!

Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.

По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)

По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)

Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.

5Вычисление площадей отдельных трапеций

Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).

Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.

Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени

Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.

Расчеты в математическом пакете Mat lab

В математическом пакете по условию задания был построен график функции и
найден корень уравнения с использованием символьного решения и в численном виде
используя встроенные функции. Для описания функции создан m-файл функции.

На следующем рисунке представлен график функции:

Для записи команд использован m-файл:

В командном окне были получены следующие результаты:

tochnoe
= 0.56226= 0.5555= 0.5691= 0.5623= 0.5623

6. Отчет о
результатах вычисления приближенного значения корня уравнения в MS Excel

В MS Excel был проведен расчет приближенного значения корня уравнения.

Интерфейс программы:

График уравнения:

Корни,
полученные в excel:

. Описание
приложения созданного в среде Delphi

При создании приложения в среде Delphi в интерфейсе был предусмотрен
вывод вида функции и графика. Нахождение корня уравнения интеграла было
реализовано с использование трех методов: метода правых и левых
прямоугольников, метода трапеций и метода Симпсона. В отличии от расчета в
Excel, где корни находились, в программе предусмотрен ввод точности вычисления
пользователем. Результаты расчета выводятся, как в окно приложения, так и в
текстовый файл.

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).

Разберем применение метода Симпсона (парабол) при приближенном вычислении определенных интегралов.

Обычно встречается два типа заданий:

В первом случае требуется приближенно вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона для заданного n.
Во втором случае просят найти приближенное значение определенного интеграла методом Симпсона (парабол) с точностью (к примеру, с точностью до одной тысячной).

Возникает логичный вопрос: «С какой степенью точности проводить промежуточные вычисления»?

Ответ прост — точность промежуточных вычислений должна быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с точностью на 3-4 порядка выше, чем порядок . Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n — чем больше n, тем точнее следует проводить промежуточные вычисления.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение.

Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5; .

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид . Для ее применения нам требуется вычислить шаг , определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции .

Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг .

Переходим к узлам и значениям функции в них:

Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:

Подставляем полученные результаты в формулу метода парабол:

Мы специально взяли определенный интеграл, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить результаты.

Результаты совпадают с точностью до сотых.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона с точностью до 0.001.

Решение.

В нашем примере a = 0, .

Первым делом нам нужно определить n. Для этого обратимся к неравенству для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона . Можно сказать, что если мы найдем n, для которого будет выполняться неравенство , то при использовании метода парабол для вычисления исходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превысит 0.001. Последнее неравенство можно переписать в виде .

Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль четвертой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Область значений функции есть интервал , а отрезок интегрирования содержит точки экстремума, поэтому .

Подставляем найденное значение в неравенство и решим его:

Так как n является натуральным числом (это же количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 5, 6, 7, … Чтобы не делать лишних вычислений, возьмем n = 5.

Теперь действуем как в предыдущем примере. В промежуточных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг .

Находим узлы и значения подынтегральной функции в них:

Результаты вычислений объединяем в таблицу:

Подставляем значения в формулу метода парабол:

Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное значение определенного интеграла с точностью до 0.001.

Действительно, вычислив исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, получаем

Замечание.

Нахождение во многих случаях затруднительно. Можно обойтись без этого, применив альтернативный подход к использованию метода парабол. Его принцип описан в разделе метод трапеций, так что не будем повторяться.

Какой же метод применять при численном интегрировании?

Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.

Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на результат при больших n, что может отдалить приближенное значение от точного.

Некогда разбираться?

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, , и т.д., где – некоторая алгебраическая функция от , нередко интегрируются по частям, полагая , , и т.д.

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от и , то следует выполнить преобразование:.После чего сделать замену . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования .

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа , , , , то нужно сделать подстановку.Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1. Вычислить интегралы: Решение. а) Интегрирование выражений вида , где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t. Тогда имеем

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

Если выполняется равенство , то применяется подстановка cos x = t.
Если выполняется равенство , то подстановка sin x = t.
Если выполняется равенство , то подстановка tgx = tили ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t. Тогда

Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим

Возвращась к исходной переменной будем иметь

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение имеет вид . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам: В данном случае

Ответ:

Общие выводы.

Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.

Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.

Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!

Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).

Вывод формулы Симпсона

Для начала рассмотрим, как найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией $y=ax^2+bx+c$, по бокам прямыми, параллельными оси ординат $x=-h$, $x=h$, а снизу отрезком, параллельным оси абсцисс.

Рисунок 1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Парабола проходит через три точки $M_1, M_2$ и $M_3$ c координатами соответственно $(-h; y_0), (0; y_1)$ и $(h;y_2)$. При этом функция $y$ в точке $(-h; y_0)$ будет равна $y_0=ah^2-bh+c$, в точке $(0; y_1)$ она равна $y_1=c$, так как $x=0$, а в точке $(h;y_2)$ она имеет значение $y_2= ah^2+bh+c$.

Соответственно, площадь $S$ равна:

$\int_{-h}^h (ax^2 + bx + c)dx=(a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2}+cx)|^h_{-h}=\frac{2}{3}ah^3+2ch\left(1\right).$

Из формул, описывающих значения функций в рассматриваемых точках, получаем, что $c=y_1, a =\frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)$. Подставим эти значения в выражение $(1)$, получим:

$S=\frac{2}{3}h^3 \cdot \frac{1}{2h^2}(y_0-2y_1+y_2)+2hy_1= \frac{h}{3}(y_0-2y_1+y_2) + 2hy_1 = \frac{h}{3} \cdot (y_0 + 4y_1+y_2)\left(2\right)$

Полученная формула является формулой для вычисления площади криволинейной трапеции. Перейдём от неё к формуле парабол для приближённого вычисления определённого интеграла.

Сначала разобьём отрезок $\left$ на $2n$ равных отрезков длиной $h=\frac{b-a}{2n}$, для этого отложим точки $x_i=x_0+ih, (i=0…2n)$, причём $x_0=a$, a $x_{2n}=b$. Получим $2n$ элементарных трапеций (рис. 2). В каждой из этих точек с абсциссой $x_i$ вычисляем значение функции $y$.

Рисунок 2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями, по методу Симпсона

Теперь перейдём от элементарных трапеций к формуле Cимпсона для вычисления интеграла. Для этого каждую пару элементарных криволинейных трапеций, основания у которых равны $h$, заменяем на одну трапецию с основанием $2h$. Рассматриваем кривую $y=f(x)$ на отрезке $\left$, она проходит через 3 точки с координатами $(x_0;y_0), (x_1;y_1), (x_2;y_2)$. Подставим их в формулу $(2)$:

$S_1=\int^{x_2}_{x_0} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_0 + 4y_1+y_2)$.

Аналогично находим все остальные площади:

$S_n=\int^{x_{2n}}_{x_{2n-2}} f(x)dx=\frac{h}{3}(y_{2n-2}+ 4y_{2n-1}+y_{2n})$.

Теперь складываем полученные равенства и получаем:

Замечание 1

$\int^b_a f(x)dx≈\frac{b-a}{6n}((y_0+y_{2n}+4(y_1+y_3+…+y_{2n-1})+2(y_2+y_4+…+y_{2n-2}))\left(3\right)$

Полученная формула носит название метода парабол или иначе формула Симпсона.