Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg

Решение 3-х более сложных уравнений

Уравнение 12. Най­ди­те корни урав­не­ния: \( \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

\( \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}\)То мы бы записали вот такой ответ:

\( \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z\)Или (так как \( \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\))

\( \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z\)Но теперь в роли \( \displaystyle t\) у нас выступаем вот такое выражение: \( \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}\)

Тогда можно записать:

\( \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто \( \displaystyle x\), без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при \( \displaystyle x\): для этого домножим наше равенство на \( \displaystyle 6\):

\( \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n\)Теперь избавимся от \( \displaystyle \pi \), разделив на него обе части:

\( \displaystyle 8x=\pm 1+12n\)Теперь избавимся от восьмёрки:\( \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}\)\( \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)\( \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)или\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать \( \displaystyle n\).

VI. СУТЬ АРКСИНУСА (ARCSIN), АРККОСИНУСА (ARCCOS), АРКТАНГЕНСА (ARCTG), АРККОТАНГЕНСА (ARCCTG)

1. Рассмотрим функцию Синуса:

sin(x) = y, где

х – угол или радиан;

у – значение sinx.

Например: sin30° = 1 / 2, где х = 30°, у = ½;

Чтобы расчитать у, должен быть известен х;

Бывают случаи, где х – не известен, но у – известен => sin(x) = 1 / 2, чему уравен х? => х = arcsin(1/2) = 30° или π/6.

Заметим: sin(arcsin(x)) = x;

Вывод: функция арксинуса обратная от функции синуса.

а. cos(x) = y => arccos(y) = x;

б. tg(x) = y => arctg(y) = x;

в. ctg(x) = y => arcctg(y) = x.

Примеры:

а. sin30° = 1 / 2 => arcsin(1/2)= 30°;

б. cos60° = 1 / 2 => arccos(1/2) => 60°.

3. α = arcsin(в), β = arcsin(а) → Рис. 46

4. α = arccos(a), β = arccos(в) → Рис. 47

VII. СУТЬ СЕКАНСА (SEC) И КОСЕКАНСА (COSEC), АРКСЕКАНСА (ARCSEC) И АРККОСЕКАНСА (ARCCOSEC)

в. sec(x) = y => arcsec(y) = x;

г. cosec(x) = y => arccosec(y) = x.

| Секанс = гипотенуза / прилежащий катет.

| Косеканс = гипотенуза / противолежащий катет.

2. Примеры:

а. sec30° = 1 / cos30° = 1 / (√3 / 2) = 2 / √3 => sec30° = 2 / √3;

б. cosec30° = 1 / sin30° = 1 / (1 / 2) = 2 => cosec30° = 2;

в. arcsec(2/√3) = 30° или π/6;

г. arccosec(2) = 30° или π/6.

3. Таблица значений секанса и косеканса → Таб. 7

5. Геометрический смысл секаса и косеканса → Рис. 48

IX. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. График функции у = sin(x) — синусоида → График 1

2. График функции у = cos(x) — косинусоида (синусоида) → График 2

3. График функции y = tg(x) — тангенсоида → График 3

4. График функции y = ctg(x) — котангенсоида → График 4

5. График функции y = sec(x) — секансоида → График 5

6. График функции y = cosec(x) — косекансоида → График 6

X. КРАТКИЙ СПРАВОЧНИК

1. Определения тригонометрических функций:

Основные:

1) sin(x) = гипот. / прот. кат. = y;

2) cos(x) = гипот. / прил. кат. = y;

3) tg(x) = sin(x) / cos(x) = прот. кат. / прил. кат. = y;

4) ctg(x) = cos(x) / sin(x) = прил. кат. / прот. кат. = y;

5) sec(x) = 1 / cos(x) = гипот. / прил. кал. = y;

6) cosec(x) = 1 / sin(x) = гипот. / прот. кат. = y;

Обратные: =>

7) arcsin(y) = x;

arccos(y) = x;

9) arctg(y) = x;

10) arcctg(y) = x;

11) arcsec(y) = x;

12) arccosec(y) = x.

2. Основные тригонометрические тождества:

1) sin²(x) + cos²(x) = 1;

2) tg(x) * ctg(x) = 1;

3) tg²(x) = 1 / cos²(x);

4) ctg²(x) = 1 / sin²(x);

5) sin(-x) = -sin(x);

6) cos(-x) = cos(x);

7) tg(-x) = -tg(x);

ctg(-x) = ctg(x);

9) tg²x + 1 = 1 / cos²(x);

10) ctg²x + 1 = 1 / sin²(x);

11) sin²(x) = (1 — cos(2x)) / 2;

12) cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2;

13) sin³(x) = (3sin(x) — sin(3x)) / 4;

14) cos³(x) = (3cos(x) + cos(3x)) / 4;

15) sin⁴(x) = (3 — 4cos²(x) + cos(4x)) / 8;

16) cos⁴(x) = (3 + 4cos²(x) + cos(4x)) / 8.

3. Тригонометрическая окружность → Рис. 51

4. Таблица значений тригонометрических функций → Таб. 8

5. Физический смысл тригонометрических функций → Рис. 52

Применение функции арктангенса в Microsoft Excel

​. Для запуска окна​ или просто привыкли​

Вычисление значения арктангенса

​Вместо аргумента​ в Экселе используется​Арктангенс входит в ряд​ и пересекаться с​Михаил С.​ угла, тангенс которого​

​ а затем —​ пи/2.​=ACOS(-0,5)​​ до 1.​​1​ листа Excel. Чтобы​ синтаксис формулы и​ в радианах того​ число. В этом​ аргументов выделяем его​ с ними работать​«Число»​

Способ 1: ручной ввод функции

​ обратных тригонометрических выражений.​ осями в 0:0?​: Таблицы Брадиса вам​ равен (числу). По​ клавишу ВВОД. При​

1. ​ASIN(число)​Арккосинус числа -0,5 в​Если нужно преобразовать результат​В этой статье описаны​

​ отобразить результаты формул,​

​ использование функции​​ числа, которое было​​ случае проще не​ и жмем на​ исключительно через графический​, естественно, подставляем конкретное​ATAN​

​ Он противоположен тангенсу.​

​А там «Пи»​ в помошь. Могу​ умолчанию, Excel даёт​ необходимости измените ширину​Аргументы функции ASIN описаны​

​ радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)​ из радиан в​ синтаксис формулы и​​ выделите их и​​TAN​

Способ 2: вычисление при помощи Мастера функций

​ задано в функции.​ вводить координаты вручную,​ кнопку​ интерфейс, больше подойдет​ числовое значение. Так​, который входит в​ Как и все​ это не в​ выслать скан.​ углы в радианах.​​ столбцов, чтобы видеть​​ ниже.​

1. ​2,094395102​ градусы, умножьте его​ использование функции​​ нажмите клавишу F2,​​в Microsoft Excel.​Урок:​

​ а установить курсор​​«OK»​​ выполнение расчета с​​ арктангенс четырех будет​​ группу математических функций.​​ подобные величины, он​​ радианах ли? А​​См. пример.​​Алексей замятин​ все данные.​Число​=ACOS(-0,5)*180/ПИ()​​ на 180/ПИ() или​​ACOS​

​ а затем —​Возвращает тангенс заданного угла.​Мастер функций в Excel​ в область поля​.​​ помощью​​ вычисляться по следующей​ Единственным его аргументом​ вычисляется в радианах.​ ведь Ёксель считает,​Alex_ST​​: Так надо сначала​​Формула​

​ — обязательный аргумент. Синус​Арккосинус -0,5 в градусах​ используйте функцию ГРАДУСЫ.​в Microsoft Excel.​ клавишу ВВОД. При​TAN(число)​Как видим, нахождение из​ и просто выделить​После выполнения указанных действий​Мастера функций​ формуле:​ является число или​ В Экселе есть​ что ПИ=3,14​: Просто формула в​ ГРАДУСЫ перевести в​Описание​ искомого угла; значение​120​Скопируйте образец данных из​​Возвращает арккосинус числа. Арккосинус​​ необходимости измените ширину​

​Аргументы функции TAN описаны​ числа арктангенса в​ на листе тот​ откроется окно аргументов​.​=ATAN(4)​ ссылка на ячейку,​

​ специальная функция, которая​​Alex_ST​

​ В2 должна быть​ радианы. Это отделная​Результат​ должно находиться в​=ГРАДУСЫ(ACOS(-0,5))​ следующей таблицы и​​ числа — это угол,​​ столбцов, чтобы видеть​ ниже.​ Экселе не является​ элемент, в котором​ оператора. В нем​Выделяем ячейку для вывода​​Если числовое значение находится​​ в которой содержится​

​ позволяет производить расчет​

Связь между градусами и радианами

Мера угла

На практике чаще всего используют градусы. Их обозначают знаком \(^\circ\;\) .

1/60 градуса — минута, обозначаемая знаком ‘. Секунду обозначают знаком », она составляет 1/3600 доли.

Математики и астрономы предпочитают пользоваться радианом, безразмерной величиной. Это удобнее при рассмотрении тригонометрических функций. Обозначение «рад» при этом обычно опускают. Радиан равен примерно \(57^\circ17’45”\) .

Формула соотношения

Длина дуги, высекаемой углом в a радиан на окружности радиуса R, вычисляется умножением a на R, а для единичной окружности длина дуги и величина угла совпадают.

Так как радиус равен единице, длина единичной окружности будет равна \(2\mathrm\pi\) .

Таким образом, связь радиан и градусов можно выразить формулой

Репутация: 5

где A1 ячейка с данными. Стандартного формата для градусов нет, с пользовательским 000,00,00 функции эксселя падают. Вобщем, надо брать тригонометрические (синус, косинус, тангенс) функции от углов в формате градус,минута,секунда и получать в таком же виде результаты арксинусов, арккосинусов и арктангенсов.

Буду благодарен за идеи. Сам чёта в тупике. Единственная идея — переводить минуты и секунды в десятичную дробную часть, но чёта это как-то коряво. но буду зв любую помощь благодарен ибо в ексселе не силён

Сообщения: 9926Откуда: Н. Новгород

Репутация: 123

Саша, это что за программа такая, EXSEL?

Справка Microsoft Excel

ГРАДУСЫ Преобразует радианы в градусы.

РАДИАНЫ Преобразует градусы в радианы.

Перевод трех ячеек A градусов + B минут + С секунд = 3600*A + 60*B + C секунд.

Репутация: 5

NEW Игорь, ну не придирайся ты. щас исправлю на EXCEL

Далее, функции радианы и градусы не могут получать и не возвращают данные в имеющемся у меня формате. градусы,минуты,секунды (1градус=60минут=360секунд). Они получают и возвращают так, что дробная чать (минуты и секунды) представлена в десятичном виде, тоесть 1 градус = 100 умножить на одну сотую градуса.

Если не трудно и ты понимаешь о чём я, не мог бы сделать файлик, который бы перегонял радианы в нужные мне градусы (1 формула) и брал бы синус от градуса в нужной мне форме (2 формула), впринципе, устроит двухсторонне преобразование радиан в градусы нужного мне формата и наоборот.

Сообщения: 9926Откуда: Н. Новгород

Репутация: 123

IdeaFix Я не спец по Excel. Но создание пользовательских форматов в нем тоже есть, хотя проще обойтись без них, см. выше.

Репутация: 5

. пока делаю так — ввожу данные (градусы-минуты-секунды) в три отдельных ячейки, минуты умножаю на 1/60, секунды на 1/360 и складываю с градусами. назад перевожу в один цикл ПОКА. жудко неудобно и тормознуто. Помогите с изящным решением.

NEW в справке пусто, по крайней мере я не нашёл. методом тыка тож не понял как создать именно такой тип.

Сообщения: 9926Откуда: Н. Новгород

Репутация: 123

минуты умножаю на 1/60, секунды на 1/360 и складываю с градусами.

У тебя в одной минуте 6 секунд, да? Это все невнимательность твоя.

Я не спец по Excel, но мне кажется, сначала для себя сформулировать задачу нужно.

Office 2003 “Создание и удаление пользовательских числовых форматов”

Я предложил получить число в секундах, и плясать от него, а радианы и градусы приводить к нему. Хоть будут точные значения, а не 1/60 и 1/3600 И не париться с форматами, а работать с обычным числом.

Сообщения: 9926Откуда: Н. Новгород

Репутация: 123

Готовый формат час-минута-секунда устроит? Час — это градус.

Час “hr” Минута “mn” Секунда “sec”

Справка > Помощь > Excel 2003 > Работа с данными > Справка по функциям > Инженерные функции

ПРЕОБР Преобразовывает число из одной системы мер в другую.

Если данная функция недоступна или возвращает ошибку #ИМЯ?, установите и загрузите надстройку «Пакет анализа».

Число — значение в старых единицах измерения, которое нужно преобразовать. Старые_единицы — единицы измерения для аргумента число. Новые_единицы — единица измерения результата. ПРЕОБР допускает следующие текстовые значения (в кавычках) для аргументов старые_единицы и новые_единицы.

Я сам впервые это вижу, но набрал сейчас в справке.

Репутация: 5

Формулы тригонометрии (более сложные)

Название формулы	Формула
Синус суммы и разности:	\( \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \)
Косинус суммы и разности:	\( \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \)
Тангенс суммы и разности:	\( \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta }\)
Синус двойного угла (следствие формулы 1)	\( \displaystyle sin2a=2sina\cdot cosa\)
Косинус двойного угла (следствие формулы 2)	\( \displaystyle cos2a=co{{s}^{2}}a-si{{n}^{2}}a\)\( \displaystyle cos2a=2co{{s}^{2}}a-1=1-2si{{n}^{2}}a\)
Тангенс двойного угла:	\( \displaystyle tg2a=\frac{2tga}{1-t{{g}^{2}}a}\)

Как сделать тангенс в excel?

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Для корректного расчета геометрических величин, Вам понадобятся познания в элементарных расчетах и некоторые из функций Excel. Так, функция КОРЕНЬ извлечет квадратный корень из заданного числа. Например, запишем: =КОРЕНЬ(121), и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11», программа возвращает только положительный результат в таких случаях.

Еще одна функция – ПИ(), не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

Тригонометрические функции Excel, до которых мы еще доберемся, используют запись угла в радианах. Эта общепринятая практика часто бывает ненаглядной, ведь нам привычнее выражать угол в градусах. Чтобы устранить эту проблему, есть две функции преобразования величин:

• ГРУДУСЫ(Угол в радианах) – преобразует радиальные величины в градусы
• РАДИАНЫ(Угол вградусах) – наоборот, преобразует градусы в радианы.

Пользуясь этими функциями, Вы обеспечиваете совместимость и наглядность вычислений.

Конечно, Вы знаете эти функции:

• COS(Угол в радианах) – косинус угла, соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника
• SIN(Угол в радианах) – синус угла, отношение противолежащего катета к гипотенузе

Для удобства чтения формул, можно использовать вложенную функцию РАДИАНЫ и задать угол в градусах. Например, формула =COS(РАДИАНЫ(180)) вернет результат «-1».

Еще две функции Вам так же знакомы – это тангенс и котангенс:

• TAN(Угол в радианах) – отношение длины противолежащего катета к прилежащему
• COT(Угол в радианах) – обратная величина – соотношение прилежащего угла к противолежащему.

Здесь так же рекомендую использовать функции преобразования величин РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ.

Среди прочих тригонометрических функций можно выделить секанс и косеканс:

• SEC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к прилежащему катету
• CSC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к противолежащему катету

Легко заметить, что секанс – обратно-пропорциональная величина к косинусу, косеканс – к синусу.

Такие функции выполняют обратный расчет по отношению к перечисленным выше:

• Арккосинус – это угол, который образуют прилежащий катет и гипотенуза с определенным косинусом. Чтобы посчитать эту величину, используйте функцию ACOS(Значение косинуса).
• Арксинус – угол между противолежащим катетом и гипотенузой с определенным синусом, вычисляется так: ASIN(Значение синуса).
• Арктангенс – угол между противолежащим и прилежащим катетами для заданного тангенса: ATAN(Значение тангенса).
• Арккотангенс – угол, для которого справедливо заданное значение котангенса: ACOT(Значение котангенса).

Все перечисленные функции вернут угол в радианах. Естественно, для перевода его в градусы, используем функцию ГРАДУСЫ.

Знание и умелое применение перечисленных функций, конечно, не сделает Вас богом в тригонометрии, но все же позволит выполнить сложные расчеты, «стоимость» которых часто довольно высока. Научитесь комбинировать их с другими функциями, построением графиков, чтобы получить максимальный эффект от полученных знаний.

Это все о тригонометрических функциях, спасибо, что читаете мой блог и развиваетесь в своих знаниях. Следующую статью я напишу об округлении чисел и очень Вам рекомендую ее не пропустить!

Поделиться, добавить в закладки или статью

Арктангенс входит в ряд обратных тригонометрических выражений. Он противоположен тангенсу. Как и все подобные величины, он вычисляется в радианах. В Экселе есть специальная функция, которая позволяет производить расчет арктангенса по заданному числу. Давайте разберемся, как пользоваться данным оператором.

Построение синусоиды в excel

Как построить график синусоиды в Excel.

Допустим имеется функция синусоиды, заданной уравнением y=sin4*x. Формула в Excel имеет вид:

=SIN(4*C4)

Требуется построить график функции.

Функция в данном случае непрерывная, поэтому по оси x ограничим интервалом от 1 до -1, шаг возьмём 0,1.

В итоги у нас должна получится таблица вида:

Переходим на вкладку Вставка -> Точечная с гладкими кривыми и маркерами.

Появится область графика, кликаем на белую область правым указателем мыши, выскакивает меню, далее Выбрать данные, появляется окно Выбора источника данных, выбираем весь диапазон данных нашей синусоиды в ячейках, затем Ок.

В итоги у нас получается график вида.

Также вид графика тоже можно настроить через конструктор и дополнительные инструменты.

трюки • приёмы • решения

Использование диаграмм Excel — хороший способ отображения графиков математических и тригонометрических функций. В этой статье описываются два метода построения графика функции: с одной переменной с помощью точечной диаграммы и с двумя переменными с помощью 3D-диаграммы.

Построение графиков математических функций с одной переменной

Точечная диаграмма (известная как диаграмма XY в предыдущих версиях Excel) отображает точку (маркер) для каждой пары значений. Например, на рис. 140.1 показан график функции SIN. На диаграмму наносятся рассчитанные значения у для значений х (в радианах) от -5 до 5 с инкрементом (приращением) 0,5. Каждая пара значений х и у выступает в качестве точки данных в диаграмме, и эти точки связаны линиями.

Рис. 140.1. Диаграмма представляет собой график функции SIN(x)

Функция выражается в таком виде: у = SIN(x) .

Соответствующая формула в ячейке В2 (которая копируется в ячейки, расположенные ниже) будет следующей: =SIN(A2) .

Чтобы создать эту диаграмму, выполните следующие действия.

1. Выделите диапазон А1:В22 .
2. Выберите Вставка ► Диаграммы ► Точечная ► Точечная с прямыми отрезками и маркерами.
3. Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.

Измените значения в столбце А для построения графика функции при различных значениях х. И, конечно, вы можете использовать любую формулу с одной переменной в столбце В. Вот несколько примеров, которые приводят к построению интересных графиков: =SIN(ПИ()*A2)*(ПИ()*A2) =SIN(A2)/A2 =SIN(A2^3)*COS(A2^2) =НОРМ.РАСП(A2;0;1;ЛОЖЬ)

Чтобы получить более точную диаграмму, увеличьте количество значений для построения графика и сделайте приращение в столбце А меньше.

Вы можете использовать онлайн наш файл примера графиков математических функций с одной переменной, расположенной в Excel Web Apps при помощи Skydrive, и внести свои данные (изменения не будут сохраняться) или скачать себе на компьютер, для чего необходимо кликнуть по иконке Excel в правом нижнем углу. Это бесплатно

Построение графиков математических функций с двумя переменными

Вы также можете строить графики функций, которые используют две переменные. Например, следующая функция рассчитывает z для различных значений двух переменных (х и у): =SIN($A2)*COS($B1)

На рис. 140.2 приведена поверхностная диаграмма, которая рассчитывает значение z для 21 значения х в диапазоне от -3 до 0 и для 21 значения у в диапазоне от 2 до 5. Для х и у используется приращение 0,15.

Рис. 140.2. Использование трехмерной поверхностной диаграммы для построения графика функции с двумя переменными

Значения х находятся в диапазоне А2:А22 , а значения у — в диапазоне B1:V1 .

Формула в ячейке В2 копируется в другие ячейки таблицы и имеет следующий вид: =SIN($A2)*C0S(B$1) .

Чтобы создать диаграмму, выполните приведенные ниже действия.

1. Выделите диапазон A1:V22 .
2. Выберите Вставка ► Диаграммы ► Другие ► Поверхность.
3. Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.

Пока значения х и у имеют равные приращения, вы можете задавать любую формулу с двумя переменными. Вам, возможно, потребуется настроить начальные значения и значение приращения для х и у. Для увеличения сглаживания используйте больше значений х и у при меньшем приращении. Вот другие формулы, которые вы можете попробовать: =SIN(КОРЕНЬ($A2^2+B$1^2)) =SIN($A2)*COS($A2*B$1) =COS($A2*B$1)

Функция SIN в Excel используется для вычисления синуса угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция SINH в Excel возвращает значение гиперболического синуса заданного вещественного числа.

Функция COS в Excel вычисляет косинус угла, заданного в радианах, и возвращает соответствующее значение.

Функция COSH возвращает значение гиперболического косинуса заданного вещественного числа.

Введите функцию COS

Выберите ячейку C2 на рабочем листе, чтобы сделать ее активной ячейкой.

Выберите вкладку » Формулы » на панели ленты.

Выберите Math & Trig на ленте, чтобы открыть раскрывающийся список функций.

Выберите COS в списке, чтобы открыть диалоговое окно Function Arguments. В Excel для Mac откроется построитель формул.

В диалоговом окне поместите курсор в числовую строку.

Выберите ячейку B2 на листе, чтобы ввести ссылку на эту ячейку в формулу.

Нажмите OK, чтобы завершить формулу и вернуться к рабочему листу. За исключением Excel для Mac, где вы выбираете « Готово» .

Ответ 0.5 появляется в ячейке C2, которая является косинусом угла 60 градусов.

Выберите ячейку C2, чтобы увидеть полную функцию в строке формул над рабочим листом.

Уравнения, сводящихся к разложению на множители

Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа, это:

• Формулы приведения
• Синус, косинус двойного угла

Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам.

Уравнения, сводящиеся к разложению с помощью синуса двойного угла:

Уравнение 18. Ре­ши­те урав­не­ние \( \displaystyle sin2x=\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)\). Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку \( \displaystyle \left\)

Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

\( \displaystyle \sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=cosx\)Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

\( \displaystyle sin2x=cosx\)Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

\( \displaystyle sin2x=2sinxcosx\)Тогда мое уравнение примет следующую форму:

\( \displaystyle 2sinxcosx=cosx\)Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на \( \displaystyle cosx\), получаю простейшее уравнение \( \displaystyle 2sinx=1\) и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

Запомни!

Никогда нельзя сокращать обе части тригонометрического уравнения на функцию, содержащую неизвестную! Таки образом ты теряешь корни!

Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

\( \displaystyle 2sinxcosx-cosx=0\)\( \displaystyle cosx\left( 2sinx-1 \right)=0\)Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

\( \displaystyle cosx=0\) или \( \displaystyle 2sinx=1\)Первое уравнение имеет корни:

\( \displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi n\).

А второе:

Вынесение общего множителя в тригонометрических уравнениях

Еще один распространенный на ЕГЭ тип тригонометрических уравнений, в которых необходимо вынести общий множитель.

Пример 27
$$\sin(2x)-2\sin^2(x)=0;$$

В этом уравнении только одна тригонометрическая функция — \(\sin(x)\). Но под синусами стоят разные выражения. Поэтому избавимся от двойного угла под синусом при помощи формулы синуса двойного угла:
$$\sin(2x)=2\sin(x)*\cos(x);$$
Уравнение примет вид:
$$2\sin(x)*\cos(x)-2\sin^2(x)=0;$$
Замечаем общий множитель \(2*\sin(x)\), вынесем его за скобки:
$$2*\sin(x)*(\cos(x)-\sin(x))=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение разбивается на два:
Либо:
$$2\sin(x)=0;$$
$$\sin(x)=0;$$
$$x_{1}=0+2\pi*n=2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\pi+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
(Кстати, эти два решения можно объединить в одно: \(x=0+\pi*n=\pi*n, \quad n \in Z;\))
Либо второе уравнение:
$$\cos(x)-\sin(x)=0;$$
Это уравнение решается при помощи деления. Разделим левую и правую часть уравнения на \(\cos(x)\):
$$\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)};$$
$$1-\frac{sin(x)}{\cos(x)}=0;$$
$$1-tg(x)=0;$$
$$tg(x)=1;$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x_{1}=\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Пример 28
$$2\cos(\frac{\pi}{2}-x)=tg(x);$$

Сразу замечаем формулу приведения под косинусом:
$$\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x);$$
Подставляем в исходное уравнение
$$2\sin(x)=tg(x);$$
Распишем тангенс по определению:
$$tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)};$$
$$2\sin(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)};$$
$$2\sin(x)-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=0;$$
И здесь тоже будет общий множитель \(\sin(x)\):
$$\sin(x)*(2-\frac{1}{\cos(x)})=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Первый множитель:
$$\sin(x)=0;$$
$$x_{1}=0+\pi*n=\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второй множитель:
$$2-\frac{1}{\cos(x)}=0;$$
Приведем к общему знаменателю:
$$\frac{2\cos(x)}{\cos(x)}-\frac{1}{\cos(x)}=0;$$
$$\frac{2\cos(x)-1}{\cos(x)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю – избавляемся от знаменателя:
$$2\cos(x)-1=0;$$
$$2\cos(x)=1;$$
$$\cos(x)=\frac{1}{2};$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$

Ответ:
$$x_{1}=\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$

Метод группировки в тригонометрических уравнениях

Рассмотрим еще уравнение, которое было на ЕГЭ 2015 года на метод группировки. Тоже нужно обязательно это знать. Сам метод, если кто не знает, сводится, по сути, к вынесению общего множителя за скобки, только немного сложнее.

Пример 29
$$\sin(2x)+\sqrt{2}\sin(x)=2\cos(x)+\sqrt{2};$$

Избавляемся от двойного угла:
$$2*\sin(x)\cos(x)+\sqrt{2}\sin(x)=2\cos(x)+\sqrt{2};$$
И перенесем все в левую часть:
$$2*\sin(x)\cos(x)+\sqrt{2}\sin(x)-2\cos(x)-\sqrt{2}=0;$$
У нас 4 слагаемых, сгруппируем их попарно: 1-е со 2-м, а 3-е с 4-м, и вынесем в каждой паре общий множитель:
$$\sin(x)(2\cos(x)+\sqrt{2})-1(2\cos(x)+\sqrt{2})=0;$$
У 3-го и 4-го слагаемых я вынес за скобки \(-1\).

Теперь обратите внимание, что в скобках получились идентичные выражения, то есть эти скобки абсолютно одинаковые. Вынесем эту общую скобку за скобку!
$$(2\cos(x)+\sqrt{2})(\sin(x)-1)=0;$$
Вот мы и сгруппировали, теперь приравниваем каждый множитель к нулю:
Первый множитель:
$$2\cos(x)+\sqrt{2}=0;$$
$$\cos(x)=\frac{-\sqrt{2}}{2};$$
$$x_{1}=\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второй множитель:
$$\sin(x)-1=0;$$
$$\sin(x)=1;$$
$$x_{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$

Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»

• Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
• Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
• Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
• Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

Решение:

• Под аркой число \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Арка для функции – косинус!
• Косинус какого угла равен \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)? Угла \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\) (или \( \displaystyle 30\) градусов!)
• Тогда \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}\)

Сам посчитай:

• \( \displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)
• \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

Ответы:

Как в excel сделать котангенс?

Формулы тригонометрии – редкая и сложная задача для работы в Майкрософт Эксель. Тем не менее, здесь есть ряд встроенных функций, помогающих в геометрических расчетах. В этом посте мы рассмотрим основные из них, которые, в компании с учебниками и справочниками, могут решить многие математические задачи. Они участвуют в расчете площади, объема, угла наклона и т.д. Если Вы школьник, студент, или работаете, например, в сфере строительства, эта статья будет Вам очень полезна.

Для корректного расчета геометрических величин, Вам понадобятся познания в элементарных расчетах и некоторые из функций Excel. Так, функция КОРЕНЬ извлечет квадратный корень из заданного числа. Например, запишем: =КОРЕНЬ(121), и получим результат «11». Хотя правильным решением будет «11» и «-11», программа возвращает только положительный результат в таких случаях.

Еще одна функция – ПИ(), не нуждается в аргументах и является зарезервированной константой. Ее результатом будет известное число 3,1415, описывающее соотношение длины окружности к ее диаметру. Эту функцию-константу можно активно применять в расчетах.

Тригонометрические функции Excel, до которых мы еще доберемся, используют запись угла в радианах. Эта общепринятая практика часто бывает ненаглядной, ведь нам привычнее выражать угол в градусах. Чтобы устранить эту проблему, есть две функции преобразования величин:

• ГРУДУСЫ(Угол в радианах) – преобразует радиальные величины в градусы
• РАДИАНЫ(Угол вградусах) – наоборот, преобразует градусы в радианы.

Пользуясь этими функциями, Вы обеспечиваете совместимость и наглядность вычислений.

Конечно, Вы знаете эти функции:

• COS(Угол в радианах) – косинус угла, соотношение между прилежащим катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника
• SIN(Угол в радианах) – синус угла, отношение противолежащего катета к гипотенузе

Для удобства чтения формул, можно использовать вложенную функцию РАДИАНЫ и задать угол в градусах. Например, формула =COS(РАДИАНЫ(180)) вернет результат «-1».

Еще две функции Вам так же знакомы – это тангенс и котангенс:

• TAN(Угол в радианах) – отношение длины противолежащего катета к прилежащему
• COT(Угол в радианах) – обратная величина – соотношение прилежащего угла к противолежащему.

Здесь так же рекомендую использовать функции преобразования величин РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ.

Среди прочих тригонометрических функций можно выделить секанс и косеканс:

• SEC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к прилежащему катету
• CSC(Угол в радианах) – отношение гипотенузы к противолежащему катету

Легко заметить, что секанс – обратно-пропорциональная величина к косинусу, косеканс – к синусу.

Такие функции выполняют обратный расчет по отношению к перечисленным выше:

• Арккосинус – это угол, который образуют прилежащий катет и гипотенуза с определенным косинусом. Чтобы посчитать эту величину, используйте функцию ACOS(Значение косинуса).
• Арксинус – угол между противолежащим катетом и гипотенузой с определенным синусом, вычисляется так: ASIN(Значение синуса).
• Арктангенс – угол между противолежащим и прилежащим катетами для заданного тангенса: ATAN(Значение тангенса).
• Арккотангенс – угол, для которого справедливо заданное значение котангенса: ACOT(Значение котангенса).

Все перечисленные функции вернут угол в радианах. Естественно, для перевода его в градусы, используем функцию ГРАДУСЫ.

Знание и умелое применение перечисленных функций, конечно, не сделает Вас богом в тригонометрии, но все же позволит выполнить сложные расчеты, «стоимость» которых часто довольно высока. Научитесь комбинировать их с другими функциями, построением графиков, чтобы получить максимальный эффект от полученных знаний.

Это все о тригонометрических функциях, спасибо, что читаете мой блог и развиваетесь в своих знаниях. Следующую статью я напишу об округлении чисел и очень Вам рекомендую ее не пропустить!

Поделиться, добавить в закладки или статью

Введите функцию COS

Выберите ячейку C2 на рабочем листе, чтобы сделать ее активной ячейкой.

Выберите вкладку » Формулы » на панели ленты.

Выберите Math & Trig на ленте, чтобы открыть раскрывающийся список функций.

Выберите COS в списке, чтобы открыть диалоговое окно Function Arguments. В Excel для Mac откроется построитель формул.

В диалоговом окне поместите курсор в числовую строку.

Выберите ячейку B2 на листе, чтобы ввести ссылку на эту ячейку в формулу.

Нажмите OK, чтобы завершить формулу и вернуться к рабочему листу. За исключением Excel для Mac, где вы выбираете « Готово» .

Ответ 0.5 появляется в ячейке C2, которая является косинусом угла 60 градусов.

Выберите ячейку C2, чтобы увидеть полную функцию в строке формул над рабочим листом.

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции

Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению  которое, в свою очередь, больше или равно нулю

Нужно, чтобы  поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Данное уравение равносильно системе:

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 7. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:

1) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Условию удовлетворяет только последняя серия.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ: 

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Репетитор математикиСергей Валерьевич