Как найти максимальное значение в excel на графике. первый способ

Схема исследования функции двух переменных на экстремум

Первое что нужно — это проверить выполняются ли необходимые условия экстремума, а они следующие — если функция имеет частные производные первого порядка и они равны нулю то в этих точках функция может иметь экстремумы. На практике реализация теории следующая: вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю. В результате получим систему уравнений из которой нужно найти точки (x0; y0) подозрительные на экстремум, их еще называют стационарными. Чтобы установить имеет ли место максимум функции, или минимум нужно вычислить частные производные второго порядка (A, B, C) в критических точках Далее в найденных точках нужно найти параметр дифференциала D Далее возможны 4 случая:

функция имеет максимум, если A<0; D>0
функция имеет минимум, если A>0; D>0
не имеет экстремума, если D<0
при D=0 нужно проводить дополнительный анализ на экстремум.

Из анализа знаков A, D и делают выводы о точках максимума и минимума функции. Далее подстановкой точек вычисляют сам экстремум функции. Если надо найти наибольшее (наименьшее) значение функции в замкнутой области (треугольник, прямоугольник, круг), то эти кривые подставляем в исходное уравнение и исследуем функцию на экстремум по линиям, а также проверяем стационарная точки (если они принадлежит замкнутой области). Такой пример рассмотрен в готовых контрольных работах.

Примеры на экстремумы

Пример 1. Найти экстремум функции двух переменных Z=2*x*y-3*x^2-2*y^2 Решение: Чтобы найти критические точки функции двух переменных для начала нам следует вычислить частные производные первого порядка Далее приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений Найденные значения и являются координатами критической точки. Чтобы не исследовать функцию в окрестности точки экстремума, поскольку не имеем графика функции, установим знаки вторых частных производных в точке. Вычисляем производную второго порядка в критической точке (0;0) Далее вычисляем параметр D Знак A<0, D>0 больше нуля, так что в критической точке (0, 0) функция имеет максимум. Значение равно свободном члену График пространственной функции в окрестности точки экстремума имеет видПример 2. Найти точку максимума или минимума заданной функцииZ=4*x-6*y-x^2-3*y^2+5 Решение: По стандартной схеме ищем производные первого порядка и приравниваем их к нулю. В результате получим систему уравнений с которой находим критическую точку функции Найденая точка экстремума имеет координаты (2; -1). Чтобы установить имеет ли место минимум функции или максимум найдем частные производные второго порядка Находим параметр Он положительный, так что в найденной точке функция достигает максимума. Вычислим его значение подстановкой Точка максимума на графике будет выглядеть следующим образомПример 3. Исследовать функцию двух переменных на экстремум Z=3*x^2-x*y+y^2-7*x-8*y+2 Решение: Вычисляем частные производные первого порядка функции Приравниваем производные к нулю и решаем систему уравнений Критическая точка имеет координаты (2, 5). Для выяснения характера точки экстремума найдем производные второго порядка в критической точке Вычисляем параметр D Знак A, D положительный, значит в точке (2; 5) данная функция имеет минимум, вычисляем минимальное значение График функции двух переменных приведен ниже Пример 4. Найти экстремум функции двух переменных Z=2*x^2-3*y^2+4*x+6*y+5 Решение: Найдем критические точки функции Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю. В результате получим систему уравнений для нахождения точки экстремума Найдем производную второго порядка в стационарной точке (-1; 1) Вычисляем параметр D Знаки A>0,D<0, так что в точке (-1; 1) функция не имеет экстремума. Это точка перегиба пространственной функции. На графике это выглядит такПример 5. Исследовать функцию на экстремум Z=x^3+y^3-15*x*y+120. Решение: Повторяем все пункты методики нахождения экстремумов. Вычисляем частные производные функции первого порядка Приравниваем их к нулю и решаем Отсюда получаем две подозрительные на экстремум точки Далее находим производные второго порядка в критических точках (0; 0) и (5; 5) Характер первой критической точки: В точке (0; 0)данная функция не имеет ни максимума, ни минимума. Характер второй критической точки: По признакам экстремума данная функция имеет минимум, а именно

МАКС. ЕСЛИ без массива

Многие пользователи Excel, в том числе и я, предвзято относятся к формулам массивов и стараются по возможности избавиться от них. К счастью, в Microsoft Excel есть несколько функций, которые изначально обрабатывают массивы, и мы можем использовать одну из таких функций, а именно СУММПРОИЗВ, как своего рода «оболочку» вокруг MAX.

Общая формула MAX IF без массива выглядит следующим образом:

=СУММПРОИЗВ(МАКС((критерии_диапазон1знак равнокритерии1) * (критерии_диапазон2знак равнокритерии2) * максимальный_диапазон))

Естественно, при необходимости вы можете добавить больше пар диапазон/критерий.

Чтобы увидеть формулу в действии, мы будем использовать данные из предыдущего примера. Цель состоит в том, чтобы получить максимальный прыжок спортсменки в раунде 3:

=СУММПРОИЗВ(МАКС(((B2:B16=G1) * (C2:C16=G2) * (D2:D16))))

Эта формула заменяется обычным нажатием клавиши Enter и возвращает тот же результат, что и формула массива MAX IF:

Присмотревшись к приведенному выше снимку экрана, вы можете заметить, что недопустимые переходы, отмеченные знаком «x» в предыдущих примерах, теперь имеют 0 значений в строках 3, 11 и 15, и в следующем разделе объясняется, почему.

Как работает эта формула

Как и в случае с формулой МАКС. ЕСЛИ, мы оцениваем два критерия, сравнивая каждое значение в столбцах «Пол» (B2:B16) и «Округление» (C2:C16) с критериями в ячейках G1 и G2. Результатом являются два массива значений TRUE и FALSE. Умножение элементов массивов в одинаковых позициях преобразует ИСТИНА и ЛОЖЬ в 1 и 0 соответственно, где 1 представляет элементы, соответствующие обоим критериям. Третий умноженный массив содержит результаты прыжков в длину (D2:D16). И поскольку умножение на 0 дает ноль, выживают только элементы, имеющие 1 (ИСТИНА) в соответствующих позициях:

В случае максимальный_диапазон содержит любое текстовое значение, операция умножения возвращает ошибку #ЗНАЧ, из-за которой вся формула не работает.

Функция MAX берет его отсюда и возвращает наибольшее число, удовлетворяющее заданным условиям. Результирующий массив, состоящий из одного элемента , поступает в функцию СУММПРОИЗВ и выводит максимальное число в ячейке.

Примечание. Из-за своей специфической логики формула работает со следующими оговорками:

Диапазон, в котором вы ищете наибольшее значение, должен содержать только числа. Если есть какие-либо текстовые значения, #VALUE! возвращается ошибка.
Формула не может оценить условие «не равно нулю» в отрицательном наборе данных. Чтобы найти максимальное значение без учета нулей, используйте либо формулу МАКС. ЕСЛИ, либо функцию МАКС.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ‘ (x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в них определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о — критическая точка. Если f ‘ (x) при переходе через x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ‘ (x) в окрестности x_о и вторую производную f » (x) в самой точке x_о. Если f ‘ (x_о) = 0, f » (x)>0, (f » (x) <0), то x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f » (x)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y =f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 1. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.

Формула поиска значений максимумов и минимумов в Excel

Два наиболее основных показателя в любых собранных статистических данных – это наибольшее и наименьшее значение, так называемые показатели максимумов и минимумов на графике. Максимальное и минимальное значения позволяют определить границы диапазона для всех исходных значений.

Как сделать выборку максимумов и минимумов в Excel

Пример. Ниже на рисунке представленная среднестатистическая температура воздуха за отдельные месяцы. Допустим, что в данном примере нам необходимо проверить, в какие месяцы года температура воздуха была наибольшая и наименьшая. Первая формула ищет наибольшую температуру:

Excel предлагает 2 функции служащие для поиска наибольшего и наименьшего значения в наборе данных статистики: МАКС и МИН. Обе функции могут иметь максимально 255 аргументов. Исходные данные находятся в диапазоне ячеек B2:B13, который является аргументом для функций МАКС и МИН. Функция МАКС возвращает значение 19 градусов – это наибольшая температура в указанном наборе данных, а функция МИН возвращает наименьшую температуру: -3.

Следующая формула возвращает название месяца соответственному температуре найденной с помощью первой формулы:

Чтобы определить название месяца с максимальным или с минимальным значением температур, необходимо сначала использовать функцию ИНДЕКС. Диапазон ячеек A2:A13, указан в качестве первого аргумента для данной функции и содержит список месяцев. Во втором аргументе функции ИНДЕКС указана функция ПОИСПОЗ, которая возвращает позицию искомого значения в списке исходных данных. Если искомое значение — это число 19, функция ПОИСКПОЗ в результате своих вычислений возвращает числовое значение 7, так как число 19 находится на седьмой позиции списка исходных данных. Функция ИНДЕКС использует это значение и возвращает седьмую строку из списка столбца «Месяц», то есть «Июль». Тот же самый принцип действия касается и функции МИН, с помощью которой формула в своем итоговом результате возвращает текстовое значение «Январь», в котором была наиболее низкая температура в году.

Благодаря данной формуле МАКС и МИН обходят текстовые значения в исходном диапазоне данных. Однако если эти доныне будут содержать ошибки, эти функции также будут возвращать ошибки. А если все значения данных будут текстовыми, тогда они обе будут возвращать число 0 в результатах своих вычислений для их формулы.

MAXIFS — простой способ найти максимальное значение с условиями

Пользователи Excel 2019, 2021 и Excel 365 избавлены от необходимости приручать массивы для создания собственной формулы MAX IF. Эти версии Excel предоставляют долгожданную функцию MAXIFS, которая упрощает поиск наибольшего значения в условиях детской игры.

В первом аргументе MAXIFS вы вводите диапазон, в котором должно быть найдено максимальное значение (в нашем случае D2:D16), а в последующих аргументах вы можете ввести до 126 пар диапазон/критерий. Например:

=МАКСЕСЛИ(D2:D16, B2:B16, G1, C2:C16, G2)

Как показано на снимке экрана ниже, у этой простой формулы нет проблем с обработкой диапазона, содержащего как числовые, так и текстовые значения:

Подробную информацию об этой функции см. в разделе Функция MAXIFS в Excel с примерами формул.

Вот как вы можете найти максимальное значение с условиями в Excel. Я благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Прямой метод отыскания точек условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений \eqref{ref1} можно выразить какие-либо \(m\) переменных \(x_{i}\) через остальные переменные. Тогда, подставив вместо соответствующих переменных \(x_{i}\) их выражения через остальные \(n-m\) переменных в функцию \(f_{0}(x)\), получим функцию \(F\) от \(n-m\) переменных.

Задача о нахождении точек экстремума функции \(f_{0}(x)\) при наличии связей \eqref{ref1} сведется к задаче нахождения обычного (безусловного) экстремума функции \(F\), зависящей от \(n-m\) переменных.

Пример 1.

Найти точки условного экстремума функции \(z = 1-x^{2}-y^{2}\), если \(x+y = 1\).

\(\vartriangle\) Уравнение связи \(x+y = 1\) легко разрешается относительно переменной \(y\), а именно \(y = 1-x\). Подставив это выражение для \(y\) в функцию \(z = 1-x^{2}-y^{2}\), получаем, что \(z = 1-x^{2}-(1-x)^{2} = 2x-2x^{2}\). Функция \(2x-2x^{2}\) имеет максимум при \(x = \frac{1}{2}\). Точка \((\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) является точкой условного максимума функции \(z(x, y)\) при наличии связи \(x+y = 1\), причем \(z_{\max} = \displaystyle\frac{1}{2}\). \(\blacktriangle\)

Замечание 1.

Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.

Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.

Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. Здесь были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.

В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.

Используемый пример для поиска решения

Сначала я хочу остановиться на исходной таблице и разобраться, в каких целях может применяться рассматриваемая надстройка. К тому же описываемый далее шаблон сделает понятным принцип устанавливаемых целей и ограничений, чтобы вы могли использовать его как исходную точку, оптимизировав под себя. Поиск решения поможет вам рассчитать кредитную ставку, узнать, как лучше вкладывать средства для достижения желаемого результата, определить лучшие маршруты для логистики, сбалансировать цены и потребление и многое другое, что требуется для обработки довольно большого массива данных.

В моем примере мы возьмем два депозитных счета, на каждый из которых каждый цикл начисляется фиксированный процент. Это вы видите в обводке на следующем изображении, где двойкой отмечены начальные суммы на каждом счете. Именно от них и отталкиваются следующие расчеты.

Процент каждый раз начисляется одинаковый, поэтому является константой. Его я растягиваю на все допустимые циклы начислений

Не обращайте внимание на то, что какие-то значения уже есть, поскольку сначала нужно заполнить таблицу полностью, подставив любые значения для начислений

Помимо начисления процентов каждый цикл я буду докладывать на каждый счет до 500 условных единиц. Для удобства разделю их пополам на каждый счет, чтобы каждый цикл поступало не больше 250 на отдельный баланс. В итоге количество этих довложений и будет считаться надстройкой, чтобы сэкономить максимальное количество средств до конца всех циклов.

Теперь нужно решить, к чему мы хотим прийти. Я выставил две отдельные цели для каждого счета, но они будут только примерными, поскольку в итоге я хочу прийти к общему балансу, чтобы он соответствовал моим требованиям.

Для этого я сначала добавляю функцию СУММ для суммы счетов и считаю сумму каждого в последнем цикле.

Если вы собираетесь строить примерно такую же таблицу, как у меня, обращу ваше внимание на то, что в начале каждого следующего цикла сумма на счете будет переноситься автоматически, поэтому нужно самостоятельно ссылаться во втором цикле на конечную сумму счета из первого, чтобы при растяжении таблицы всегда получать корректные результаты

Сама сумма же формируется из исходного баланса, постоянного процента и суммы довложений, которая будет меняться в зависимости от того, как решит надстройка «Поиск решения».

Возможно, текстом описать принцип работы этой таблицы сложно, но я постарался сделать это максимально доходчиво. В итоге получил таблицу с двумя счетами с разными процентами начислений и разными целями. Общая сумма довложений не должна быть более 500, а цель является общей, поскольку предполагается, что весь баланс с депозитных счетов все равно будет выведен на один. Поэтому далее я сделаю так, чтобы баланс к концу всех циклов получился 32500 (7500 + 25000, это предполагаемые цели первого и второго счета). При этом количество довложений должно быть минимальным, чтобы не тратить личные средства, и, соответственно, не превышать установленное ограничение в 500 условных единиц. Теперь давайте разберемся с тем, как реализовать это при помощи рассматриваемой надстройки.

Комьюнити теперь в Телеграм

Подпишитесь и будьте в курсе последних IT-новостей