Создание массива с нормальным распределением
Итак, чтобы сгенерировать массив данных с нормальным распределением, нам понадобится функция НОРМ.ОБР() – это обратная функция от НОРМ.РАСП(), которая возвращает нормально распределенную переменную для заданной вероятности для определенного среднего значения и стандартного отклонения. Синтаксис формулы выглядит следующим образом:
=НОРМ.ОБР(вероятность; среднее_значение; стандартное_отклонение)
Другими словами, я прошу Excel посчитать, какая переменная будет находится в вероятностном промежутке от 0 до 1. И так как вероятность возникновения продукта с весом в 100 грамм максимальная и будет уменьшаться по мере отдаления от этого значения, то формула будет выдавать значения близких к 100 чаще, чем остальных.
Давайте попробуем разобрать на примере. Выстроим график распределения вероятностей от 0 до 1 с шагом 0,01 для среднего значения равным 100 и стандартным отклонением 1,5.
Как видим из графика точки максимально сконцентрированы у переменной 100 и вероятности 0,5.
Этот фокус мы используем для генерирования случайного массива данных с нормальным распределением. Формула будет выглядеть следующим образом:
=НОРМ.ОБР(СЛЧИС(); среднее_значение; стандартное_отклонение)
Создадим массив данных для нашего примера со средним значением 100 грамм и стандартным отклонением 1,5 грамма и протянем нашу формулу вниз.
Теперь, когда массив данных готов, мы можем выстроить график с нормальным распределением.
Инструменты Excel для построения интервальных оценок параметров распределений
Все, рассмотренные в этом разделе инструменты вычисляют значения квантилей как значения функций, обратных соответствующим функциям распределения. Все эти функции – библиотечные функции Excel из группы функций «Статистические»,.
Функция вычисления критических точек распределения Лапласа
Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) стандартного нормального распределения.
Функция вычисления критических точек распределения Стьюдента
Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным значению, введенному в поле «Степени свободы» (понятно, что это натуральное число).
Важно знать, что функция Excel СТЬЮДРАСПОБР( p , k ) возвращает значение t , при котором P (| x | > t ) = p , x — значение случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с k степенями свободы. Поэтому решение уравнения
Поэтому решение уравнения
n
Функция вычисления критических точек распределения
Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения
В Excel функция распределения случайной величины определена нестандартно: F x ( x ) = P ( x > x ). Поэтому для вычисления квантиля
Как задать простое логическое условие в Excel
с функцией все ли проверяемые в противном случае. Excel ячейки в С1 слово «Да». «6». Можно написать с помощью функцииНужно очень крепко подумать, приоритеты.=ЕСЛИ(C2>B2;»Превышение бюджета»;»В пределах бюджета»)Имя аргумента В9 – условие. или продукт хранится «ЛОЖЬ». Как так сделать? значение ЛОЖЬ. убедиться, что одноЕСЛИ
- условия принимают значение
- Задавая такое условие, определенных строках».
- Если число будет
Операторы сравнения в Excel
любое слово в проверки ошибок чтобы выстроить последовательностьИногда требуется проверить, пустаВ примере выше функцияОписание Третий аргумент –
Как задать условие в Excel
дольше 10 месяцев,=И (Лог_знач. 1; Лог_знач.И скажить как=ЕСЛИ(ИЛИ(НЕ(A350)); A3; «Значение вне значение не равно.
ИСТИНА. можно сравнивать текстовыеМожно в Excel меньше 2, то этом условии, т.д.Логические функции из множества операторов ли ячейка. Обычно ЕСЛИ в ячейкелог_выражение $C$2:$C$7 – диапазон его списывают. 2;…) написать чтоб EXCEL
интервала») другому.ФормулаФункция строки без учета суммировать данные из ячейка должна оставатьсяТретье условие –Функции Excel (по алфавиту) ЕСЛИ и обеспечить это делается, чтобы
D2 означает: (обязательно) усреднения; числовые значения,Для решения используем логическиеПринимает до 255 аргументов понял что надо100 не меньше 0ФункцияОписаниеИ
регистра. К примеру, таблицы по многим пустой. Скопировали формулу «Значение_если_ложь» — здесьФункции Excel (по категориям) их правильную отработку формула не выводила
ЕСЛИ(C2 больше B2, тоУсловие, которое нужно проверить. которые берутся для функции ЕСЛИ и в виде условий «Больше или равно»,»Меньше (ЛОЖЬ) и больше
НЕ=И(A2>1;A2возвращает значение ИСТИНА, сравнивая «ЯНВАРЬ» и разным условиям. Например, по столбцу С. мы напишем, чтоЧасто применяемая, по каждому условию результат при отсутствии вернуть текст «Превышениезначение_если_истина расчета среднего арифметического. ИЛИ: =10);»списан»;»»)’ class=’formula’>. или ссылок. Обязательным или равно», «Не чем 50 (ИСТИНА),меняет значение своего
Возвращает значение ИСТИНА, если если в результате «январь» формула возвратит в функции «ЕСЛИ» Получилось так. нужно писать, еслилогическая функция в Excel на протяжении всей входного значения. бюджета», в противном (обязательно)Функция СРЗНАЧЕСЛИ сопоставляет значение Условие, записанное с является первый.
ровняется». Так для
Применение «ЕСЛИ» с несколькими условиями
Мы только что рассмотрели пример использования оператора «ЕСЛИ» с одним логическим выражением. Но в программе также имеется возможность задавать больше одного условия. При этом сначала будет проводиться проверка по первому, и в случае его успешного выполнения сразу отобразится заданное значение. И только если не будет выполнено первое логическое выражение, в силу вступит проверка по второму.
Рассмотрим наглядно на примере все той же таблицы. Но на этот раз усложним задачу. Теперь нужно проставить скидку на женскую обувь в зависимости от вида спорта.
Первое условия – это проверка пола. Если “мужской” – сразу выводится значение 0. Если же это “женский”, то начинается проверка по второму условию. Если вид спорта бег – 20%, если теннис – 10%.
Пропишем формулу для этих условий в нужной нам ячейке.
=ЕСЛИ(B2=”мужской”;0; ЕСЛИ(C2=”бег”;20%;10%))
Щелкаем Enter и получаем результат согласно заданным условиям.
Далее растягиваем формулу на все оставшиеся строки таблицы.
Практический пример использования логических функций
В примере ниже попробуем частично использовать описанные выше функции для решения задачи, приближенной к реальной ситуации с расчетом премии, зависящей от определенных условий.
В качестве исходных данных – таблица со сведениями о работниках, в которой указан их пол и возраст.
Нам необходимо произвести расчет премии. Ключевые условия, от которых зависит размер премии:
- величина обычной премии, которую получат все сотрудники без исключения – 3 000 руб.;
- сотрудницам женского пола положена повышенная премия – 7 000 руб.;
- молодым сотрудникам (младше 1984 г. рождения) положена повышенная премия – 7 000 руб.;
Выполним необходимые расчеты, используя логические функции.
Встаем в первую ячейку столбца, в которой хотим посчитать размеры премий и щелкаем кнопку “Вставить функцию” (слева от сроки формул).
В открывшемся Мастере функций выбираем категорию “Логические”, затем в предложенном перечне операторов кликаем по строке “ЕСЛИ” и жмем OK.
Теперь нам нужно задать аргументы функции. Так как у нас не одно, а два условия получения повышенной премии, причем нужно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них, чтобы задать логическое выражение, воспользуемся функцией ИЛИ. Находясь в поле для ввода значения аргумента “Лог_выражение” кликаем в основной рабочей области книги на небольшую стрелку вниз, расположенную в левой верхней части окна программы, где обычно отображается адрес ячейки. В открывшемся списке функций выбираем оператор ИЛИ, если он представлен в перечне (или можно кликнуть на пункт “Другие функции” и выбрать его в новом окне Мастера функций, как мы изначально сделали для выбора оператора ЕСЛИ).
Мы переключимся в окно аргументов функци ИЛИ
Здесь задаем наши условия получения премии в 7000 руб.:
год рождения позже 1984 года;
пол – женский;
Теперь обращаем внимание на строку формул. Кликаем в ней на название первоначального оператора ЕСЛИ, чтобы переключиться в аргументы этой функции. Заполняем аргументы функции и щелкаем OK:
в значении “Истина” пишем цифру 7000;
в значении “Ложь” указываем цифру 3000;
Заполняем аргументы функции и щелкаем OK:
в значении “Истина” пишем цифру 7000;
в значении “Ложь” указываем цифру 3000;
Результат работы логических операторов отобразится в первой ячейке столбца, которую мы выбрали. Как мы можем видеть, окончательный вид формулы выглядит следующим образом:.Кстати, вместо использования Мастера функций можно было вручную составить и прописать данную формулу в требуемой ячейке.
Чтобы рассчитать премию для всех сотрудников, воспользуемся Маркером заполнения. Наведем курсор на правый нижний угол ячейки с формулой. После того, как курсор примет форму черного крестика (это и есть Маркер заполнения), зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем выделение вниз, до последней ячейки столбца.
Все готово. Благодаря логическим операторам мы получили заполненные данные для столбца с премиями.
Чувствительность и специфичность
Наряду с FPR и TPR используют также показатели чувствительности и специфичности, которые также изменяются в интервале :
- чувствительность алгоритма совпадает с ;
- специфичность алгоритма определяется как .
Модель с высокой чувствительностью часто дает истинный результат при наличии положительного исхода (обнаруживает положительные примеры). Наоборот, модель с высокой специфичностью чаще дает истинный результат при наличии отрицательного исхода (обнаруживает отрицательные примеры). Если рассуждать в терминах медицинской диагностики, где модель классификации пациентов на больных и здоровых называется диагностическим тестом, то получится следующее:
чувствительный диагностический тест проявляется в гипердиагностике – максимальном предотвращении пропуска больных;
специфичный диагностический тест диагностирует только доподлинно больных
Это важно в случае, когда, например, лечение больного связано с серьезными побочными эффектами и гипердиагностика пациентов нежелательна.
Примеры использования функции ГАУСС в Excel
Синтаксис рассматриваемой функции не представляет из себя ничего сложного, ведь функции ГАУСС присущ всего один обязательный аргумент – Z – возвращающий число.
Важно отметить, что существует определенная связь между функцией ГАУСС и такой статистической функцией, как стандартное нормальное распределение, иначе говоря – НОРМ.СТ.РАСП. Итак, всегда функция НОРМ.СТ.РАСП (0; Истина) делает возврат 0,5, тогда как ГАУСС (z) имеет в результате значение меньше на 0,5, чем результат функции НОРМ.СТ.РАСП
На рисунке, расположенном ниже, приведен пример использования данных статистических функций для возвращения числа 1,5
Итак, всегда функция НОРМ.СТ.РАСП (0; Истина) делает возврат 0,5, тогда как ГАУСС (z) имеет в результате значение меньше на 0,5, чем результат функции НОРМ.СТ.РАСП. На рисунке, расположенном ниже, приведен пример использования данных статистических функций для возвращения числа 1,5.
Для наглядности продемонстрируем зависимость между значениями функций графическим способом. Для этого – сформируем таблицу с выборкой чисел, например на интервале от -5 до 5 с шагом 0,5, а затем по имеющимся данным построим график:
На графике четко прослеживается пропорциональная корреляция результатов вычислений функций ГАУСС и НОРМ.СТ.РАСП.
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями: суть метода, формулы, пример
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями применяется для того, чтобы проверить
не только возможную
зависимость результативного признака от двух факторов — A и B, но и возможное
взаимодействие факторов A и B. Тогда
a — число градаций фактора A и b — число градаций фактора B, r —
число повторений. В
статистическом комплексе сумма квадратов остатков разделяется на четыре компоненты:
,
где
— общая сумма квадратов отклонений,
— объяснённая
влиянием фактора сумма квадратов отклонений,
— объяснённая
влиянием фактора сумма квадратов отклонений,
— объяснённая
влиянием взаимодействия факторов и сумма квадратов отклонений,
— необъяснённая сумма
квадратов отклонений или сумма квадратов отклонений ошибки,
—
общее среднее наблюдений,
—
среднее наблюдений в каждой градации фактора ,
—
среднее число наблюдений в каждой градации фактора ,
—
среднее число наблюдений в каждой комбинации градаций факторов
и ,
— общее число наблюдений.
Дисперсии вычисляются следующим образом:
—
дисперсия, объяснённая влиянием фактора ,
—
дисперсия, объяснённая влиянием фактора ,
—
дисперсия, объяснённая взаимодействием факторов и ,
—
необъяснённая дисперсия или дисперсия ошибки,
где
—
число степеней свободы дисперсии, объяснённой влиянием фактора ,
—
число степеней свободы дисперсии, объяснённой влиянием фактора ,
—
число степеней свободы дисперсии, объяснённой взаимодействием факторов и ,
—
число степеней свободы необъяснённой дисперсии или дисперсии ошибки,
—
общее число степеней свободы.
Если факторы не зависят друг от друга, то для определения существенности факторов
выдвигаются три нулевые гипотезы и соответствующие альтернативные гипотезы:
для фактора :
,
: не все равны;
для фактора :
,
: не все равны;
для взаимодействия факторов и :
,
: ABij ≠ 0
для всех i и j.
Чтобы определить влияние фактора , нужно
фактическое отношение Фишера
сравнить с критическим отношением Фишера .
Чтобы определить влияние фактора , нужно
фактическое отношение Фишера
сравнить с критическим отношением Фишера .
Чтобы определить влияние взаимодействия факторов и
, нужно
фактическое отношение Фишера
сравнить с критическим отношением Фишера .
Если фактическое отношение Фишера больше критического отношения Фишера, то следует
отклонить нулевую гипотезу с уровнем значимости . Это означает,
что фактор существенно влияет на данные: данные зависят от фактора с вероятностью
.
Если фактическое отношение Фишера меньше критического отношения Фишера, то следует
принять нулевую гипотезу с уровнем значимости . Это означает,
что фактор не оказывает существенного влияния на данные с вероятностью
.
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями: пример
Пример 4. Торговое предприятие имеет три магазина —
, и .
Проводятся две рекламные кампании. Требуется выяснить, зависят ли средние дневные доходы магазинов от
двух рекламных кампаний. Для процедуры проверки случайно выбраны по 3 дня каждой рекламной кампании
(то есть число повторений ). Результаты обобщены
в таблице:
| Рекламная кампания | Магазин |
| Рекламная кампания 1 | 12,05 |
| 23,94 | |
| 14,63 | |
| Рекламная кампания 2 | 25,78 |
| 17,52 | |
| 18,45 | |
| Среднее | 18,73 |
| Магазин | Магазин | Среднее |
| 15,17 | 9,48 | 14,53 |
| 18,52 | 6,92 | |
| 19,57 | 10,47 | |
| 21,40 | 7,63 | 15,86 |
| 13,59 | 11,90 | |
| 20,57 | 5,92 | |
| 18,14 | 8,72 |
Факторы, подлежащие проверке: магазин (, и )
и рекламная кампания (1 и 2). Пусть эти факторы не зависят друг от друга.
Вычислим суммы квадратов отклонений:
,
,
,
.
Числа степеней свободы:
,
,
,
,
.
Дисперсии:
,
,
,
.
Фактические отношения Фишера:
для фактора :
для фактора :
для взаимодействия факторов и :
.
Критические значения отношения Фишера:
для фактора : ,
для фактора :
для взаимодействия факторов и :
.
Делаем выводы:
о влиянии фактора : фактическое отношение Фишера
меньше критического значения, следовательно, рекламная кампания существенно не влияет на дневные доходы магазина с вероятностью 95%,
о влиянии фактора : фактическое отношение Фишера
больше критического, следовательно, доходы существенно различаются между магазинами,
о взаимодействии факторов и :
фактическое отношение Фишера меньше критического, следовательно, взаимодействие рекламной кампании и конкретного
магазина не существенно.
Условия применения t-критерия Стьюдента
Несмотря на то, что открытие Стьюдента в свое время совершило переворот в статистике, t-критерий все же довольно сильно ограничен в возможностях применения, т.к. сам по себе происходит из предположения о нормальном распределении исходных данных. Если данные не являются нормальными (что обычно и бывает), то и t-критерий уже не будет иметь распределения Стьюдента. Однако в силу действия центральной предельной теоремы средняя даже у ненормальных данных быстро приобретает колоколообразную форму распределения.
Рассмотрим, для примера, данные, имеющие выраженный скос вправо, как у распределения хи-квадрат с 5-ю степенями свободы.
Теперь создадим 20 тысяч выборок и будет наблюдать, как меняется распределение средних в зависимости от их объема.
Отличие довольно заметно в малых выборках до 15-20-ти наблюдений. Но дальше оно стремительно исчезает. Таким образом, ненормальность распределения – это, конечно, нехорошо, но некритично.
Больше всего t-критерий «боится» выбросов, т.е. аномальных отклонений. Возьмем 20 тыс. нормальных выборок по 15 наблюдений и в часть из них добавим по одному случайном выбросу.
Картина получается нерадостная. Фактические частоты средних сильно отличаются от теоретических. Использование t-распределения в такой ситуации становится весьма рискованной затеей.
Итак, в не очень малых выборках (от 15-ти наблюдений) t-критерий относительно устойчив к ненормальному распределению исходных данных. А вот выбросы в данных сильно искажают распределение t-критерия, что, в свою очередь, может привести к ошибкам статистического вывода, поэтому от аномальных наблюдений следует избавиться. Часто из выборки удаляют все значения, выходящие за пределы ±2 стандартных отклонения от средней.
Создание условной формулы, которая приводит к логическому значению (истина или ложь)
Для выполнения этой задачи используйте функции и операторы and, orи Not , как показано в следующем примере.
Пример
Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.
Выделите пример, приведенный в этой статье.
Важно: Не выделяйте заголовки строк или столбцов
Выделение примера в справке
Нажмите клавиши CTRL+C.
В Excel создайте пустую книгу или лист.
Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.
Важно: Чтобы пример правильно работал, его нужно вставить в ячейку A1. Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, возвращающих эти результаты, нажмите клавиши CTRL+` (знак ударения) или на вкладке Формулы в группе Зависимости формул нажмите кнопку Показывать формулы
Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, возвращающих эти результаты, нажмите клавиши CTRL+` (знак ударения) или на вкладке Формулы в группе Зависимости формул нажмите кнопку Показывать формулы.
Скопировав пример на пустой лист, вы можете настроить его так, как вам нужно.
Логические выражения используются для записи условий, в которых сравниваются числа, функции, формулы, текстовые или логические значения. Любое логическое выражение должно содержать по крайней мере один оператор сравнения, который определяет отношение между элементами логического выражения. Ниже представлен список операторов сравнения Excel
= Больше или равно
Результатом логического выражения является логическое значение ИСТИНА (1) или логическое значение ЛОЖЬ (0).
Функция ЕСЛИ
Функция ЕСЛИ (IF) имеет следующий синтаксис:
=ЕСЛИ(логическое_выражение;значение_если_истина;значение_если_ложь)
Следующая формула возвращает значение 10, если значение в ячейке А1 больше 3, а в противном случае — 20:
В качестве аргументов функции ЕСЛИ можно использовать другие функции. В функции ЕСЛИ можно использовать текстовые аргументы. Например:
=ЕСЛИ(А1>=4;»Зачет сдал»;»Зачет не сдал»)
Можно использовать текстовые аргументы в функции ЕСЛИ, чтобы при невыполнении условия она возвращала пустую строку вместо 0.
Аргумент логическое_выражение функции ЕСЛИ может содержать текстовое значение. Например:
Эта формула возвращает значение 10, если ячейка А1 содержит строку «Динамо», и 290, если в ней находится любое другое значение. Совпадение между сравниваемыми текстовыми значениями должно быть точным, но без учета регистра.
Функции И, ИЛИ, НЕ
Функции И (AND), ИЛИ (OR), НЕ (NOT) — позволяют создавать сложные логические выражения. Эти функции работают в сочетании с простыми операторами сравнения. Функции И и ИЛИ могут иметь до 30 логических аргументов и имеют синтаксис:
=И(логическое_значение1;логическое_значение2. ) =ИЛИ(логическое_значение1;логическое_значение2. )
Функция НЕ имеет только один аргумент и следующий синтаксис:
=НЕ(логическое_значение)
Аргументы функций И, ИЛИ, НЕ могут быть логическими выражениями, массивами или ссылками на ячейки, содержащие логические значения.
Приведем пример. Пусть Excel возвращает текст «Прошел», если ученик имеет средний балл более 4 (ячейка А2), и пропуск занятий меньше 3 (ячейка А3). Формула примет вид:
Когда используешь различные функции «Если», «Суммесли», то часто в них задаешь условия, при которых должно выполняться определенное условие. При этом действительно часто используются разные знаки сравнения, так как с их постановкой возникает проблемы, то давайте покажем, как их поставить.
Поставим в экселе знак больше или равно.
Перед нами таблица, в которой есть числа от 1 до 10. В рядом стоящем столбце, нужно прописать функцию «ЕСЛИ», с условием, что если цифра больше или равно трем ставиться «Да», а если условие не выполняется, то ставиться «Нет».
В ячейке «В2» пропишем формулу: =ЕСЛИ(A2>=3;»Да»;»Нет»), где знак >= означает больше или равно. Копируем данную формулу на все ячейки.
Поставим в экселе знак меньше или равно.
Поменяем задачу, теперь поставим «Да», если числом меньше или равно трем, а при невыполнении условия ставим слово «Нет». Для этого в ячейке «В2» пишем формулу =ЕСЛИ(A2 3;»Нет»;»Да»), где знаком мы обозначаем неровно трем.
Как построить график с нормальным распределением в Excel
Так как я часто имею дело с большим количеством данных, у меня время от времени возникает необходимость генерировать массивы значений для проверки моделей в Excel. К примеру, если я хочу увидеть распределение веса продукта с определенным стандартным отклонением, потребуются некоторые усилия, чтобы привести результат работы формулы СЛУЧМЕЖДУ() в нормальный вид. Дело в том, что формула СЛУЧМЕЖДУ() выдает числа с единым распределением, т.е. любое число с одинаковой долей вероятности может оказаться как у нижней, так и у верхней границы запрашиваемого диапазона. Такое положение дел не соответствует действительности, так как вероятность возникновения продукта уменьшается по мере отклонения от целевого значения. Т.е. если я произвожу продукт весом 100 грамм, вероятность, что я произведу 97-ми или 103-граммовый продукт меньше, чем 100 грамм. Вес большей части произведенной продукции будет сосредоточен рядом с целевым значением. Такое распределение называется нормальным. Если построить график, где по оси Y отложить вес продукта, а по оси X – количество произведенного продукта, график будет иметь колоколообразный вид, где наивысшая точка будет соответствовать целевому значению.
Таким образом, чтобы привести массив, выданный формулой СЛУЧМЕЖДУ(), в нормальный вид, мне приходилось ручками исправлять пограничные значения на близкие к целевым. Такое положение дел меня, естественно, не устраивало, поэтому, покопавшись в интернете, открыл интересный способ создания массива данных с нормальным распределением. В сегодняшней статье описан способ генерации массива и построения графика с нормальным распределением.
Построение графика нормального распределения
Прежде всего необходимо разбить наш массив на периоды. Для этого определяем минимальное и максимальное значение, размер каждого периода или шаг, с которым будет увеличиваться период.
Далее строим таблицу с категориями. Нижняя граница (B11) равняется округленному вниз ближайшему кратному числу. Остальные категории увеличиваются на значение шага. Формула в ячейке B12 и последующих будет выглядеть:
В столбце X будет производится подсчет количества переменных в заданном промежутке. Для этого воспользуемся формулой ЧАСТОТА(), которая имеет два аргумента: массив данных и массив интервалов. Выглядеть формула будет следующим образом =ЧАСТОТА(Data!A1:A175;B11:B20). Также стоит отметить, что в таком варианте данная функция будет работать как формула массива, поэтому по окончании ввода необходимо нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Таким образом у нас получилась таблица с данными, с помощью которой мы сможем построить диаграмму с нормальным распределением. Воспользуемся диаграммой вида Гистограмма с группировкой, где по оси значений будет отложено количество переменных в данном промежутке, а по оси категорий – периоды.
Осталось отформатировать диаграмму и наш график с нормальным распределением готов.
Итак, мы познакомились с вами с нормальным распределением, узнали, что Excel позволяет генерировать массив данных с помощью формулы НОРМ.ОБР() для определенного среднего значения и стандартного отклонения и научились приводить данный массив в графический вид.
Нормальное распределение в статистике
История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.
Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.
Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.
Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.
График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.
На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.
Формула нормального распределения (плотности) следующая.
Формула состоит из двух математических констант:
π – число пи 3,142;
е – основание натурального логарифма 2,718;
двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:
m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);
ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.
Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.
Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.
А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.
Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.
Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:
Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как
P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.
Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.
Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.
Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.
Дополнительные вкладки на панели инструментов
Обратите внимание на то, что каждый раз, когда вы начинаете работать с диаграммой, наверху появляются дополнительные вкладки. Рассмотрим их более внимательно
Конструктор
В этом разделе вы сможете:
- добавить элемент;
- выбрать экспресс-макет;
- изменить цвет;
- указать стиль (при наведении график будет менять внешний вид для предварительного просмотра);
- выбрать данные;
- изменить тип;
- переместить объект.
Формат
Содержимое данного раздела постоянно меняется. Всё зависит от того, с каким объектом (элементом) вы работаете в данный момент.
Используя данную вкладку, вы сможете сделать что угодно с внешним видом диаграммы.
Какие еще опции полезны?
У кондиционеров есть множество полезных опций, на которые тоже стоит обратить внимание. Вот лишь основные. . Инверторный двигатель
Инверторный двигатель
Работает тише, экономит до 30% энергии. Но модели с таким мотором дороже, а за счет экономии разница окупится в лучшем случае через несколько лет.
Инверторный двигатель. Работает тише, экономит до 30% энергии. Но модели с таким мотором дороже, а за счет экономии разница окупится в лучшем случае через несколько лет.
Управление со смартфона. Можно будет включать кондиционер, например, по дороге домой, чтобы к вашему приезду уже было прохладно.
Ночной режим. В нем снижается производительность, а вместе с ней и уровень шума от устройства. Так «» не будет мешать спать.
Режим вентиляции. Без охлаждения: воздух просто циркулирует по помещению. Полезно, если в помещении в целом нормальная температура, но душно.