Как посчитать ln в excel

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=LOG(10)	Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.	1
=LOG(8; 2)	Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8.	3
=LOG(86; 2,7182818)	Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86.	4,4543473

Биноминальным разложением

В этот раз, 4-х значные логарифмы довольно ограниченны. Используя тот же калькулятор с клавишами логарифмов или с xy, результат равен 353.5533906. Биноминальное разложение дает тот же результат за исключением последних двух цифр.

Конечно, ваш калькулятор не сделает биномиальный ряд для вас. Для того-то и упражнения, чтобы показать, что биномиальный ряд работает. Как калькулятор это делает? Он имеет встроенные программы, которые вычисляют логарифмические ряды очень быстро — за доли секунды. Помните, что калькулятор работает в двоичной системе, даже если он высвечивает десятичные цифры.

Использование логарифмов с формулами

Формула здесь связывает давление и объем в физическом расширение и сжатии газа. Это характерно для многих формул. Величины р и v являются переменными, k и индекс n являются константами. В этой таблице к = 1000 и n = 1,4.

В таблице приведены значения v от 10 до 30 (предполагается, что этот диапазон охватывает необходимые значения в нашей конкретной задаче) и используются логарифмы для расчета соответствующего значения р (в последнем столбце). В 3-й колонке приведены значения 0,4logv в качестве помощи нахождения log1,4v. Табулирование с помощью этого метода облегчало процесс до появления калькуляторов.

Четвертая колонка есть вычитание из 3, что есть log1000. Чтобы сделать это на калькуляторе, у вас есть выбор: использовать клавишу logs или xy. В любом случае, вы должны вставить k в это. Если k было другим, чем степень 10, это немного усложнит вычисление. Метод: использовать клавишу 1/x (обратное значение) а потом умножить на 1000 (или на соответсвующее значение к).

Поиск закона логарифмов

Вы знаете, что v и p относится друг к другу по закону типа: pvn = k. Это показывает, как это делались вычисления с помощью логарифмов до появления калькуляторов. Вы можете использовать ваш калькулятор, но использование клавиши xy является не таким легким; использование клавиши log есть более легким.

Возьмем логарифмы значения p: 1.361727836 и 1.176091259. После вычитания получим 0.185636579. Возьмем логарифмы значения v: 1.176091259 и 1.301029996. После вычитания получим: 0.124938736. Разделим первое значение на второе: 0.185636579/0.124938736= 1.485820827 — значение n. Такое вычисление требовало использование ячейки памяти вашего калькулятора. И все эти цифры после запятой точные, но необязательные. Числа, с которыми вам необходимо работать, скорее всего, имеют две значащие цифры.

Вопросы и задачи

1. Рассмотрим следующий рисунок. Эти функции нарисованы на логарифмической шкале. Перерисуйте приближения этих функций в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейные, ось у — логарифмическая). Выберите масштаб, который является обоснованными для угла значения в каждом конкретном случае.

2. Нарисуйте приблизительные значения функции в прямоугольных координатах поверх приведенного графика. Выберите масштаб, который является наиболее подходящим для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

3. Рассмотрите следующий рисунок. Эти функции нарисованы в прямоугольных координатах. Нарисуйте приблизительные значения функции в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейная и ось у — логарифмическая). Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае.

4. Нарисуйте приблизительные значения функции в логарифмическом масштабе . Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

5. Используя формулу log₁₀xy = log₁₀x + log₁₀y, найдите значения следующих множителей путем сложений чисел. Вы можете использовать калькулятор. Запишите ответы с тремя цифрами после запятой.

(a) 5.44 • 3.67       (b) 10.5 • 0.567

(c) 36.7 • 2.56       (d) 0.987 • 0.822

6. Используя формулу log₁₀xy = ylog₁₀x, найдите значения (стремя цифрами после запятой). Вы можете использовать калькулятор.

(a) 5.443,67       (b) 10.53,67
(c) 36.72,56       (d) 0.9870,822

7. Если бы в решении задачи №6 натуральные логарифмы (с основанием e) были бы использованы вместо логарифмов с основанием 10 был бы результат верным?

8. Если бы в решении задачи №6 логарифмы по основанию 7 были бы использованы вместо десятичных логарифмов, был бы результат верным?

Депозитный калькулятор со сложным процентом в Excel

Клиент банка внес депозит на сумму 50000 рублей с процентной ставкой 14,5% (сложные проценты). Определить, сколько времени потребуется на удвоение вложенной суммы?

Интересный факт! Для быстрого решения данной задачи можно воспользоваться эмпирическим способом приблизительной оценки сроков (в годах) на удвоение инвестиций, вложенных под сложный процент. Так называемое правило 72 (или 70 или правило 69). Для этого нужно воспользоваться простой формулой – число 72 разделить на процентную ставку: 72/14,5 = 4,9655 лет. Главный недостаток правила «магического» числа 72 заключается в погрешности. Чем выше процентная ставка, тем выше погрешность в правиле 72. Например, при процентной ставки 100% годовых погрешность в годах достигает до 0,72 (а в процентах это аж 28%!).

Для точного расчета сроков удвоения инвестиций будем использовать функцию LOG. За одно и проверим величину погрешности правила 72 при процентной ставке 14,5% годовых.

Вид исходной таблицы:

Для расчета будущей стоимости инвестиции при известной процентной ставке можно использовать следующую формулу: S=A(100%+n%) t , где:

• S – ожидаемая сумма по истечению срока;
• A – размер депозита;
• n – процентная ставка;
• t – срок хранения депозитных средств в банке.

Для данного примера эту формулу можно записать как 100000=50000*(100%+14,5%) t или 2=(100%+14,5%) t . Тогда для нахождения t можно переписать уравнение как t=log (114,5%) 2 или t=log 1,1452 .

Для нахождения значения t запишем следующую формулу сложного процента по депозиту в Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Описание аргументов:

• B4/B2 – соотношение ожидаемой и начальной сумм, которое является показателем логарифма;
• 1+B3 – прирост процентов (основание логарифма).

В результате расчетов получим:

Депозит удвоится спустя немного более чем 5 лет. Для точного определения лет и месяцев воспользуемся формулой:

Функция ОТБР отбрасывает в дробном числе все что после запятой подобно функции ЦЕЛОЕ. Разница между функциями ОТБР и ЦЕЛОЕ заключается лишь в расчетах с отрицательными дробными числами. Кроме того, ОТБР имеет второй аргумент где можно указать количество оставляемых знаков после запятой. Поэтом в данном случаи можно воспользоваться любой из этих двух функций на выбор пользователя.

Получилось 5 лет и 1 месяц и 12 дней. Теперь сравним точные результаты с правилом 72 и определим величину погрешности. Для данного примера формула, следующая:

Мы должны умножить значение ячейки B3 на 100 так как ее текущее значение 0,145, которое отображается в процентном формате. В результате:

После скопируем формулу из ячейки B6 в ячейку B8, а в ячейке B9:

Посчитаем сроки погрешности:

Затем в ячейку B10 снова скопируем формулу из ячейки B6. В результате получим разницу:

И наконец посчитаем разницу в процентах, чтобы проверить как изменяется размер отклонения и насколько существенно влияет рост процентной ставки на уровень расхождения правила 72 и факта:

Теперь для наглядности пропорциональной зависимости роста погрешности и роста уровня процентной ставки повысим процентную ставку до 100% годовых:

На первый взгляд разница погрешности не существенная по сравнению с 14,5% годовых — всего около 2-ух месяцев и 100% годовых — в пределах 3-х месяцев. Но доля погрешности в сроках окупаемости более чем ¼, а точнее 28%.

Составим простой график для визуального анализа как коррелируется зависимость изменения процентной ставки и процента погрешности правила 72 от факта:

Чем выше процентная ставка, тем хуже работает правило 72. В итоге можно сделать следующий вывод: до 32,2% процентов годовых можно смело пользоваться правилом 72. Тогда погрешность составляет менее 10-ти процентов. Вполне сойдет если не требуются точные, но сложные расчеты по срокам окупаемости инвестиций в 2 раза.

Конвенции об обозначениях

Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x
)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x
)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».

Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x
)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.

Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x
5 = ln( 3 )]
2 .

Англо-американская система

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x
)», либо «ln(x
)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log 10 (x
)».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x
)» (или изредка «log e (x
)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x
)» у них означает log 10 (x
).

log e
является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:

Если основание b
равно e
, то производная равна просто 1/x
, а при x
= 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e
логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис
несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.

Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

Особенности использования функций LN, LOG и LOG10 в Excel

Функция LN имеет следующий синтаксис:

число – единственный аргумент, являющийся обязательным для заполнения, который принимает действительные числа из диапазона положительных значений.

1. Функция LN является обратной функцией EXP. Последняя возвращает значение, полученное в результате возведения числа e в указанную степень. Функция LN указывает, в какую степень необходимо возвести число e (основание), чтобы получить показатель логарифма (аргумент число).
2. Если аргумент число задан числом из диапазона отрицательных значений или нулем, результатом выполнения функции LN будет код ошибки #ЧИСЛО!.

Синтаксис функции LOG имеет следующий вид:

=LOG( число

• число – обязательный для заполнения аргумент, характеризующий числовое значение показателя логарифма, то есть число, полученное в результате возведения основания логарифма в некоторую степень, которая и будет вычислена функцией LOG;
• – необязательный для заполнения аргумент, характеризующий числовое значение основания логарифма. Если аргумент явно не указан, логарифм считается десятичным (то есть основание равно 10).

1. Несмотря на то, что результат вычисления функции LOG может являться отрицательным числом (например, функция =LOG(2;0,25) вернет значение -0,5), аргументы данной функции должны быть взяты из диапазона положительных значений. Если хотя бы один из аргументов является отрицательным числом, функция LOG вернет код ошибки #ЧИСЛО!.
2. Если в качестве аргумента было передано значение 1, функция LOG вернет код ошибки #ДЕЛ/0!, поскольку результат возведения 1 в любую степень будет всегда одинаковым и равным 1.

Функция LOG10 имеет следующую синтаксическую запись:

число – единственный и обязательный для заполнения аргумент, смысл которого тождественен одноименному аргументу функций LN и LOG.

Примечание: если в качестве аргумента число было передано отрицательное число или 0, функция LOG10 вернет код ошибки #ЧИСЛО!.

Депозитный калькулятор со сложным процентом в Excel

Клиент банка внес депозит на сумму 50000 рублей с процентной ставкой 14,5% (сложные проценты). Определить, сколько времени потребуется на удвоение вложенной суммы?

Интересный факт! Для быстрого решения данной задачи можно воспользоваться эмпирическим способом приблизительной оценки сроков (в годах) на удвоение инвестиций, вложенных под сложный процент. Так называемое правило 72 (или 70 или правило 69). Для этого нужно воспользоваться простой формулой – число 72 разделить на процентную ставку: 72/14,5 = 4,9655 лет. Главный недостаток правила «магического» числа 72 заключается в погрешности. Чем выше процентная ставка, тем выше погрешность в правиле 72. Например, при процентной ставки 100% годовых погрешность в годах достигает до 0,72 (а в процентах это аж 28%!).

Для точного расчета сроков удвоения инвестиций будем использовать функцию LOG. За одно и проверим величину погрешности правила 72 при процентной ставке 14,5% годовых.

Вид исходной таблицы:

Для расчета будущей стоимости инвестиции при известной процентной ставке можно использовать следующую формулу: S=A(100%+n%) t , где:

• S – ожидаемая сумма по истечению срока;
• A – размер депозита;
• n – процентная ставка;
• t – срок хранения депозитных средств в банке.

Для данного примера эту формулу можно записать как 100000=50000*(100%+14,5%) t или 2=(100%+14,5%) t . Тогда для нахождения t можно переписать уравнение как t=log (114,5%) 2 или t=log 1,1452 .

Для нахождения значения t запишем следующую формулу сложного процента по депозиту в Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Описание аргументов:

• B4/B2 – соотношение ожидаемой и начальной сумм, которое является показателем логарифма;
• 1+B3 – прирост процентов (основание логарифма).

В результате расчетов получим:

Депозит удвоится спустя немного более чем 5 лет. Для точного определения лет и месяцев воспользуемся формулой:

Функция ОТБР отбрасывает в дробном числе все что после запятой подобно функции ЦЕЛОЕ. Разница между функциями ОТБР и ЦЕЛОЕ заключается лишь в расчетах с отрицательными дробными числами. Кроме того, ОТБР имеет второй аргумент где можно указать количество оставляемых знаков после запятой. Поэтом в данном случаи можно воспользоваться любой из этих двух функций на выбор пользователя.

Получилось 5 лет и 1 месяц и 12 дней. Теперь сравним точные результаты с правилом 72 и определим величину погрешности. Для данного примера формула, следующая:

Мы должны умножить значение ячейки B3 на 100 так как ее текущее значение 0,145, которое отображается в процентном формате. В результате:

После скопируем формулу из ячейки B6 в ячейку B8, а в ячейке B9:

Посчитаем сроки погрешности:

Затем в ячейку B10 снова скопируем формулу из ячейки B6. В результате получим разницу:

И наконец посчитаем разницу в процентах, чтобы проверить как изменяется размер отклонения и насколько существенно влияет рост процентной ставки на уровень расхождения правила 72 и факта:

Теперь для наглядности пропорциональной зависимости роста погрешности и роста уровня процентной ставки повысим процентную ставку до 100% годовых:

На первый взгляд разница погрешности не существенная по сравнению с 14,5% годовых — всего около 2-ух месяцев и 100% годовых — в пределах 3-х месяцев. Но доля погрешности в сроках окупаемости более чем ¼, а точнее 28%.

Составим простой график для визуального анализа как коррелируется зависимость изменения процентной ставки и процента погрешности правила 72 от факта:

Чем выше процентная ставка, тем хуже работает правило 72. В итоге можно сделать следующий вывод: до 32,2% процентов годовых можно смело пользоваться правилом 72. Тогда погрешность составляет менее 10-ти процентов. Вполне сойдет если не требуются точные, но сложные расчеты по срокам окупаемости инвестиций в 2 раза.

Численное значение

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

y
x
x
x

Для ln(x
), где x
> 1, чем ближе значение x
к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:

где M
обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

m
выбрано так, что p
знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M
(n
) ln n
). Здесь n
— число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M
(n
) — вычислительная сложность умножения двух n
-значных чисел.

Подстановка пределов интегрирования

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x
и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x
стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x
).

Натуральный логарифм
— это логарифм по основанию , где e {\displaystyle e}

— иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln ⁡ x {\displaystyle \ln x}
, log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x}
или иногда просто log ⁡ x {\displaystyle \log x}
, если основание e {\displaystyle e}

подразумевается . Другими словами, натуральный логарифм числа x
— это показатель степени , в которую нужно возвести число e
, чтобы получить x
. Это определение можно расширить и на комплексные числа .

ln ⁡ e = 1 {\displaystyle \ln e=1}
e 1 = e {\displaystyle e^{1}=e}
ln ⁡ 1 = 0 {\displaystyle \ln 1=0}
e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1}

Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a
как площадь под кривой y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
на промежутке {\displaystyle }
. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:

e ln ⁡ a = a (a > 0) ; {\displaystyle e^{\ln a}=a\quad (a>0);}
ln ⁡ e a = a (a > 0) . {\displaystyle \ln e^{a}=a\quad (a>0).}

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . {\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.}

1.8. Формула возведения дроби в степень.

E = lim(1+1/N), при N → ∞.

С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.

6. Логарифм.

6.1. Определение функции логарифм

Y = Log b (x).

Логарифм показывает в какую степень надо возвести число — основание логарифма (b), чтобы
получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.

Например: Log 10 (100) = 2.

Y = Log 10 (x) .

Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Пример использования десятичного логарифма — децибел .

Y = Log 2 (x).

Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Натуральный логарифм

Y = Log e (x) .

Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).

Пример:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Формулы полезные в жизни

Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .

Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.

Использование оператора LOG

Для лучшего понимания работы функции LOG давайте разберем ее, применив на практике. Для этого возьмем таблицу имеющую колонку с числами. Наша задача – в отдельном столбце вычислить логарифмы из этих числовых значений по основанию, равному 3.

Давайте начнем выполнение нашей задачи:

1. Выбираем первую ячейку столбца, в которой хотим произвести вычисления. Затем кликаем по кнопке “Вставить функцию” (с левой стороны от строки формул).
2. В результате откроется окно Мастера функций. Здесь мы щелкаем по текущей категории и в открывшемся перечне выбираем строку “Математические”.
3. Из предложенного списка операторов кликаем по функции “LOG” и подтверждаем действие нажатием OK.
4. В открывшемся окне задаем настройки функции, после чего нажимаем OK. Согласно количеству аргументов оператора, в открывшемся окне имеется два поля:
   • в поле “Число” указываем координаты ячейки с числом, из которого требуется рассчитать логарифм. Можно прописать информацию вручную, но есть более простой и удобный метод. Кликаем сначала по области поля “Число”, после чего – по требуемой ячейке.
   • в поле “Основание” в нашем случае указываем значение “3”.
     Примечание: В поле “Число” можно сразу напечатать конкретное числовое значение.
5. После проделанных действий результат вычислений незамедлительно отобразится в выбранной ячейке с формулой LOG.
6. Теперь остается скопировать формула расчета для оставшихся исходных числовых значений, представленных в первом столбце. Прописывать или вставлять формулу для каждой ячейки слишком долго, и к счастью, это вовсе не обязательно, ведь есть куда более быстрый способ это сделать, причем, исключив возможные ошибки и опечатки. Для этого наводим указатель мыши на нижний правый угол ячейки с формулой, и после того, как курсор изменит форму на крестик, зажав левую кнопку мыши растягиваем формулу на оставшиеся строки ниже.
7. В результате проделанных действий мы получим результат вычислений по всем строкам.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Инвестиционный калькулятор сложных процентов с капитализацией в Excel

Пример 3. Клиенту банка предложили сделать вклад с непрерывным ростом итоговой суммы (капитализация со сложными процентами). Процентная ставка составляет 13% годовых. Определить, сколько потребуется времени, чтобы утроить начальную сумму (250000 рублей). Насколько необходимо увеличить процентную ставку, чтобы уменьшить время ожидания вдвое?

Примечание: так как мы в данном примере утраиваем сумму вложений, то здесь уже правило 72 не работает.

Вид исходной таблицы данных:

Непрерывный рост может быть описан формулой ln(N)=p*t, где:

• N – отношение конечной суммы вклада к начальной;
• p – процентная ставка;
• t – количество лет, прошедших с момента внесения депозита.

Тогда t=ln(N)/p. Исходя из этого равенства запишем формулу в Excel:

• B3/B2 – соотношение конечной и начальной сумм депозита;
• B4 – процентная ставка.

На утроение начальной суммы вклада потребуется почти 8,5 лет. Для расчета ставки, которая позволит сократить время ожидания вдвое, используем формулу:

То есть, необходимо удвоить начальную процентную ставку.

Вычисление экспоненты в Эксель

Экспонента является числом Эйлера, возведенным в заданную степень. Само число Эйлера приблизительно равно 2,718281828. Иногда его именуют также числом Непера. Функция экспоненты выглядит следующим образом:

Для вычисления данного показателя в Экселе применяется отдельный оператор – EXP. Кроме того, эту функцию можно отобразить в виде графика. О работе с этими инструментами мы и поговорим далее.

Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции

Для того чтобы рассчитать в Экселе величину экспоненты для значения e в указанной степени, нужно воспользоваться специальным оператором EXP. Его синтаксис является следующим:

То есть, эта формула содержит только один аргумент. Он как раз и представляет собой степень, в которую нужно возвести число Эйлера. Этот аргумент может быть как в виде числового значения, так и принимать вид ссылки на ячейку, содержащую в себе указатель степени.

1. Таким образом для того, чтобы рассчитать экспоненту для третьей степени, нам достаточно ввести в строку формул или в любую незаполненную ячейку на листе следующее выражение:

Способ 2: использование Мастера функций

Хотя синтаксис расчета экспоненты предельно прост, некоторые пользователи предпочитают применять Мастер функций. Рассмотрим, как это делается на примере.

1. Устанавливаем курсор на ту ячейку, где должен будет выводиться итоговый результат расчета. Щелкаем по значку в виде пиктограммы «Вставить функцию» слева от строки формул.

Открывается окошко Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» производим поиск наименования «EXP». Выделяем это название и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов. Оно имеет только одно поле – «Число». Вбиваем в него цифру, которая будет означать величину степени числа Эйлера. Жмем на кнопку «OK».

Если в качестве аргумента используется ссылка на ячейку, которая содержит показатель степени, то нужно поставить курсор в поле «Число» и просто выделить ту ячейку на листе. Её координаты тут же отобразятся в поле. После этого для расчета результата щелкаем по кнопке «OK».

Способ 3: построение графика

Кроме того, в Экселе существует возможность построить график, взяв за основу результаты, полученные вследствие вычисления экспоненты. Для построения графика на листе должны уже иметься рассчитанные значения экспоненты различных степеней. Произвести их вычисление можно одним из способов, которые описаны выше.

1. Выделяем диапазон, в котором представлены экспоненты. Переходим во вкладку «Вставка». На ленте в группе настроек «Диаграммы» нажимаем на кнопку «График». Открывается список графиков. Выбирайте тот тип, который считаете более подходящим для выполнения конкретных задач.

Как видим, рассчитать экспоненту в Экселе при помощи функции EXP элементарно просто. Эту процедуру легко произвести как в ручном режиме, так и посредством Мастера функций. Кроме того, программа предоставляет инструменты для построения графика на основе этих расчетов.

Понятие натурального логарифма

Таким образом, логарифм log A B – это число, в которое требуется возвести A, чтобы получить B. Число A в данном случае называется основанием, которое может быть любым, однако на практике чаще всего встречаются логарифмы с основанием 10 и e. Первые соответственно называются десятичными, а вторые — натуральными. Несмотря на название, натуральный логарифм — техническая функция.

Экспонента (число е) — иррациональное число, приблизительно равное 2,718281828. Экспонента представляет собой базовое соотношение роста для любых растущих процессов. Число e – это предельная константа, ограничивающая процессы роста так же, как скорость света ограничивает передвижение объектов в пространстве. Именно операции с экспонентой дают возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как вычисление прироста населения, процентов по банковскому депозиту или объема полураспада радиоактивного вещества. Так как любой процесс можно описать при помощи математических формул, любой рост можно выразить упрощенной формулой вида:

Рост = ex

Например, если мы положили $100 на банковский депозит поl 9% годовых сроком на 3 года, то прибыль будет рассчитываться как:

Конечный результат: 100e(0,09 × 3) = $130.

Это простая операция возведения числа е в степень. Если же нам требуется обратная операция, то на помощь придет натуральный логарифм. Рассмотрим пример с банковским депозитом.

Специальные таблицы.

Первоначально логарифмы были изобретены для того, чтобы, пользуясь их свойствами logab
= loga
+ logb
и loga
/b
= loga
– logb
, превращать произведения в суммы, а частные в разности. Иначе говоря, если loga
и logb
известны, то с помощью сложения и вычитания мы легко можем найти логарифм произведения и частного. В астрономии, однако, часто по заданным значениям loga
и logb
требуется найти log(a
+ b
) или log(a
– b
). Разумеется, можно было бы сначала по таблицам логарифмов найти a
и b
, затем выполнить указанное сложение или вычитание и, снова обратившись к таблицам, найти требуемые логарифмы, но такая процедура потребовала бы трехкратного обращения к таблицам. З.Леонелли в 1802 опубликовал таблицы т.н. гауссовых логарифмов
– логарифмов сложения сумм и разностей – позволявшие ограничиться одним обращением к таблицам.

В 1624 И.Кеплером были предложены таблицы пропорциональных логарифмов, т.е. логарифмов чисел a
/x
, где a
– некоторая положительная постоянная величина. Эти таблицы используются преимущественно астрономами и навигаторами.

Пропорциональные логарифмы при a
= 1 называются кологарифмами
и применяются в вычислениях, когда приходится иметь дело с произведениями и частными. Кологарифм числа n
равен логарифму обратного числа; т.е. cologn
= log1/n
= – logn
. Если log2 = 0,3010, то colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Преимущество использования кологарифмов состоит в том, что при вычислении значения логарифма выражений вида pq
/r
тройная сумма положительных десятичных долей logp
+ logq
+ cologr
находится легче, чем смешанная сумма и разность logp
+ logq
– logr
.

Понятие логарифма и основного логарифмичесгого тождества

Понятие логарифма и основного логарифмическое тождества состоят в тесной зависимости, т.к. определение логарифма в математической записи и является основным логарифмическим тождеством.

Основное логарифмическое тождество вытекает из определения логарифма:

Определение 1

Логарифмом называют показатель степени n, при возведении в которую числа а получают число b.

Замечание 1

Показательное уравнение a^n=b при a > 0, a ne 1 не имеет решений при неположительном b и имеет единственный корень при положительном b. Этот корень называется логарифмом числа b по основанию а и записывают: